八年级下册数学，二次根式四则运算和运用，以及拔高专题训练

一、二次根式的乘法法则

1.两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.

2.公式推广：

题型一 根据积的算术平方根的限制条件，确定字母的取值范围.

例1.如果成立√x×（x-6）=√x×√x-6，那么 (　　)

A.x≥6　　　 B.0≤x≤6 C.x≥0　　　 D.x为任意实数

二、积的算术平方根的性质

1.两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积.

2.

3.公式推广：

温馨提示：积的算术平方根的性质中的乘积中的每个因式可以是数,也可以是代数式,但不管怎样都必须满足因数(或因式)都是非负数

易错点一 忽略二次根式乘法法则使用的条件致错.

例2.计算√（-9）×（-25）.

正解√（-9）×（-25）=√(9×25)=√9×√25=3×5=15.

错解警示　出错的原因是忽略了二次根式乘法法则成立的条件.等式成立的条件是a≥0,b≥0,而是√（-9）、√（-25）两个没有意义的式子,利用等式时,必须保证在a≥0,b≥0的条件下进行.

易错点二 把根号外的因式移到根号内时忽略符号致错

例3.

三、二次根式的除法法则

1.两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

2.公式

3.推广：

四、商的算术平方根

1.商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

2.数学语言：

五、最简二次根式

1.条件：(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

2.化简的一般方法：（1）将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.

（2）化去根号下的分母：①若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数；②若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数.

（3）被开方数是多项式时要先进行因式分解.

例4.下列二次根式中,为最简二次根式的是(　　)

A.√8 　　　B. √1/3 C.√2 D.√0.25 

六、次根式的加减

1.二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.

2.一般步骤：(1)化成最简二次根式；

(2)找出被开方数相同的二次根式；

(3)合并被开方数相同的二次根式——将系数相加减仍作为系数,根指数与被开方数保持不变.

3.识别方法：⑴将二次根式化简为最简二次根式;

⑵观察被开方数,相同的就是能合并的二次根式.

七、二次根式的混合运算

1.概念：二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.

2.运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去掉括号).

学以致用

二次根式与乘法公式的应用

例5.计算:

能力提升

1.如果√2=a,√3=b,用含有a、b的式子表示,下列表示正确的是 (　　)

A.0.1ab²　　　　B.0.1a³b　　 C.0.2ab²　 D.2ab

2.如图，一只电子蚂蚁在数轴上爬行,爬到表示(√5/5)×(-5)的点处,则该点可能是下列点中的 (　　)

A.点E　　　　　 B.点F　　　　　 C.点P　　　　　 D.点Q

3.星期天,晓琪的妈妈和张琪做了一个小游戏,晓琪的妈妈说:“你现在学习了二次根式,若x表示√10的整数部分,y表示它的小数部分,我这个钱包里的钱(单位:元)是(√10+x)y的整数部分,你猜一下这个钱包里的钱有多少?若猜对了,钱包里的钱就由你支配.”请你帮晓琪获得对这些钱的支配权.

4.

5.观察下列式子:

A.110　　　　 B.164　 C.179　 D.181

6.

7.观察下列等式:

按上述规律,回答以下问题:

(1)请写出第n个等式:an=　　　　　　；

(2)a1+a2+a3+…+an=　　　 .

8.

A.24　　　 B.±2√6  C.2√6  D.2√5 

9.是否存在正整数a、b(a<b),使其满足√a+√b=√1404?若存在,试求出a、b的值；若不存在,请说明理由.