项名达《下学葊算书》之解勾股形一(13)
项名达《下学葊算书》之解勾股形一(13)
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着之《下学葊算书二》，主要介绍该书之解直角三角形法，亦涉及正切余切等三角函数。本文亦涉及三角倍角及复角公式。
关键词：股旁角 勾旁角 正切 余切
以下各题皆取材自清‧项名达着之《下学葊算书三种‧平三角和较术‧勾股形》。本文所引述之问属深奥之列，特别涉及倍角及复角公式部分。在以下各题中，项名达说出其解法，但无说明理由，因各题涉及三角倍角或复角公式，此是否意味清代已有三角倍角或复角公式之说？项名达之算学多为西学，有亦未足为奇，项名达无详细说明耳。
三角倍角或复角公式可参阅现代之数学书籍。
另一方面，清代代数学未形成，项名达能解此等复杂之三角题絶非易事。
下左图为一般之直角三角形图，右图为验证数字：
以下各题《下学葊算书》本无图，每题之图皆为笔者所加，有图可助解题。
﹝一﹞有勾弦较有股弦较求两角。
题问已知一勾股形之勾弦较及其股弦较，求两锐角。
解：
以下为〈有勾弦较有股弦较勾股图〉：
先作出 ABC 主三角形，∠BAC 之半为 θ，∠ABC之半为 β。延长 BC 至 M，使 BM = AB，于是 CM 是为勾弦差。又延长 AC 至 K，使 AK = AB，于是 CK 是为股弦差。又可知 2θ + 2β= 90o，即 θ + β = 45o。
已知勾弦较 CM z – x = u，股弦较 CK z – y = v。
在 ∆BCK 中，
=
= cot θ，BC = v cot θ= v cot (45o – β) 。
在 ∆ACM 中，
=
= cot β，AC = ucot β 。
在 ∆ABC 中，
= tan 2β=
=
﹝左方以倍角公式展开﹞
=
﹝右方以复角公式展开﹞
=
=
=
= w﹝设右方为w﹞
tan β =
cot β =
=
+ 1
cot β =
+ 1。
以下为算 cot β 之另法：
先作一勾股形 ABC，作其内切圆，圆心为 O。股与勾之切点为 H 与 K，r 为内切圆半径。联OC，作直线 OF = OG = OC。
又设 B 角之半为 β，A 角之半为 θ，可知 2θ + 2β = 90o，即 θ + β = 45o 。
从上图可知：
z = d + e，y = d + r，x = e + r。小写字母乃切点至三角角尖之长。
已知勾弦较z – x = d + e – (e + r ) = d – r = u，
股弦较 z – y = d + e – (d + r ) =e – r = v。
从上图可知∆OKC ≡ ∆OKG ≡ ∆OHC ≡ ∆OHF，所以：
FA = d – r = u，
BG = e – r = v。
从上图可知，在∆AOF 中
=
---------------------(1)
∆OBG 中
=
，
=
------------------------ (2)
(1) ÷ (2)
=
×
=
=
=
=
=
=
= csc2β – 2cot β
= 1 + cot2 β – 2cot β
= (cot β– 1)2
= cot β– 1
cot β = 1 +
。﹝所得之答案同前﹞
或作如下之运算：
=
=
=
=
=
=
= csc2θ – 2cot θ
= 1 + cot2 θ – 2cot θ
= (cot β– 1)2
= cot θ– 1
cot θ = 1 +
。
验证：
若一勾股形之股弦较 = v = 2 –√3，股弦较 = u = 2 – 1 = 1﹝见前图﹞。
则 cot β = 1 +
= 1 +
= 1 +
= 1 +
= 1 + √[(√3 – 1)2]
= 1 + (√3 – 1)
=√3。
因 cot β = √3，所以β = 30o。
∠B = 2β = 60o。即可知 ∠A = 30o。
合预设之答案。
《下学葊算书》曰：
法以勾弦较为一率，股弦较倍之为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数加半径为勾旁半角余切。或以股弦较为一率，勾弦较倍之为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数加半径为股旁半角余切，各倍之为两角。
其意指一率为勾弦较 z – x = u， 股弦较为 z – y = v，二率指 2(z – y) = 2v，三率指半径自乘。
用比例四率，即
=
，四率 =
。
cot β = 半径 +
。若半径 = 1，则配合笔者之答案。
或一率为股弦较 z – y = v， 勾弦较为 z – x = u，二率指 2(z – x) = 2u，三率指半径自乘。依旧用以上之四率式可得：
cot θ = 半径 +
。若半径 = 1，则配合笔者之答案。
﹝二﹞有勾弦和有股弦和求两角
题问已知一勾股形之勾弦和及其股弦和，求两锐角。
解：
先作出以下之图：
以ABC 为主勾股形。延长 CA 至 G，使 AG = AB，于是 CG 是为股弦和。延长 CB 至 H，使 BH = AB，于是 CH 是为勾弦和。
已知勾弦和z + x = s，股弦和 z + y = t。
在 ∆GBC 中，
= tan θ= tan (45o – β) ，BC = t tan (45o – β) 。
在 ∆AHC 中，
= tan β，AC = s tan β 。
在 ∆ABC 中，
= tan 2β=
。
以下为〈有勾弦和有股弦和勾股图〉：
因为 tan 2β =
=
=
=
= (1 + tan β)2
= 1 + tan β
tan β =
– 1
β = tan – 1 (
– 1) 。
∠ABC = 2β = 2tan – 1(
– 1) 。
∠BAC = 2θ = 90o– 2tan – 1 (
– 1) 。
或作以下之运算：
= tan 2β=
，
cot 2θ =
=
=
t(1 – tan2 θ ) = 2s tan(45o – θ)
t(1 – tan2 θ) =
t(1 – tan θ)(1 + tan θ) =
t(1 + tan θ)2 = 2s
= (1 + tan θ)2
= 1 + tan θ
tan θ =
– 1
θ = tan – 1 (
– 1) 。
验证：
若一勾股形之勾弦和 z + x = s = 2 + 1 = 3，股弦和 z + y = t = 2 + √3。
tan β =
– 1 =
– 1 =
– 1
=
– 1 =
– 1 =
=
=
。
所以 β = 30o。2β = 60o。另一角为 30o。
《下学葊算书》曰：
法以勾弦和为一率，股弦和倍之为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数减半径为勾旁半角正切。或以股弦和为一率，勾弦和倍之为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数减半径为股旁半角正切，各倍之为两角。
其意指一率为勾弦和 z + x = s， 股弦和 z + y = t，二率指 2(z + y) = 2t，三率指半径自乘。
用比例四率，即
=
，四率 =
。
tan β =
– 半径。若半径 = 1，则配合笔者之答案。
或一率为股弦和 z + y = t， 勾弦和 z + x = s，二率指 2(z + x) = 2s，三率指半径自乘。依旧用以上之四率式可得：
tan θ =
– 半径。若半径 = 1，则配合笔者之答案。
﹝三﹞有勾弦和有股弦较，求两角。
题问已知一勾股形之勾弦和及其股弦较，求两锐角。
解：
以ABC 为主勾股形。延长 CB 至 H，使 BH = AB，于是 CH 是为勾弦和。又延长 AC 至 K，使 AK = AB，于是 CK 是为股弦差。
已知勾弦和 z + x = s，股弦较为 z – y = v。
以下为〈有勾弦和有股弦较勾股图〉：
∆ABH 与∆ABK 均为等腰 ∆，容易证明∠H = ∠HAB = β；∠CBK = θ。
在 ∆AHC 中，
=
= tan β，AC = s tan β 。
在 ∆BCK 中，
=
= cot θ，BC = v cot θ 。
在 ∆ABC 中，
= tan 2β=
，
=
=
=
=
t(1 + tan β)2 = 2s
= (1 – tan β)2
= 1 – tan β
tan β = 1 –
β = tan – 1 (1 –
) 。
验证：
若勾弦和 z + x = s = 3，股弦较为 z – y = v = 2 – √3，
1 –
= 1 –
= 1 –
= 1 –
= 1 –
= 1 –
=
=
=
。
所以 tan β =
，
即 β = 30o，2β = 60o。
或作以下之运算：
tan 2β=
cot 2θ=
=
=
=
=
v(1+cot θ)2 = 2s
= (1 + cot θ)2
= 1 + cot θ
cot θ=
– 1 ﹝配合《下学葊算书》所云之算式﹞。
验证：
若勾弦和 z + x = s = 3，股弦较为 z – y = v = 2 – √3，
– 1 =
– 1 =
– 1
=
– 1=
– 1
=√3(1 + √3) – 1 = √3 + 3 – 1 =√3 + 2。
cot θ= √3 + 2，所以 θ = 15o。
或 (√3 + 2) – 1 =
=
= 2 –√3。
所以 tan θ = 2 –√3。
即可得 θ = 15o，2θ = 30o。另一角必为 60o。
《下学葊算书》曰：
法以勾弦和为一率，股弦较倍之为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数减半径为勾旁半角正切。或以股弦较为一率，勾弦和倍之为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数减半径为股旁半角余切，各倍之为两角。
其意指一率为勾弦和 z + x = s， 股弦较 z – y = v，二率指 2(z – y) = 2v，三率指半径自乘。
用比例四率，即
=
，四率 =
。
tan β = 半径 –
。若半径 = 1，则配合笔者之答案。
或一率为股弦较 z – y = v， 勾弦和 z + x = s，二率指 2(z + x) = 2s，三率指半径自乘。依旧用以上之四率式可得：
cot θ =
– 半径。若半径 = 1，则配合笔者之答案。
﹝四﹞有勾弦较有股弦和求两角
题问已知一勾股形之勾弦较及其股弦和，求两锐角。
解：
以ABC 为主勾股形。延长 CA 至 G，使 AG = AB，于是 CG 是为股弦和。延长 BC 至 M，使 BM = AB，于是 CM 是为勾弦较。
已知勾弦较 z – x = u，股弦和 z + y = t。
以下为〈有勾弦较有股弦和勾股图〉：
在 ∆GBC 中，
=
= tan θ= tan (45o – β) ，BC = t tan (45o – β) 。
在 ∆ACM 中，
=
= cot β，AC = ucot β 。
在 ∆ABC 中，
= tan 2β=
=
=
=
2tan2β =
=
= p﹝设右方为p﹞
tan β =
cot β =
=
– 1
cot β =
– 1。
β = cot – 1 (
– 1) 。
验算：已知勾弦较 z – x = u = 2 – 1 = 1，股弦和 z + y = t = 2 + √3。
cot β =
– 1 =
– 1
= √(4 + 2√3) – 1
= (1 + √3) – 1
=√3 。
所以β = 30o，2β = 60o，是为勾旁角。
或作以下之运算：
tan 2β =
tan (90o – 2θ) =
cot 2θ =
=
=
因 45o > θ，所以右方分母须为正，故更号。
(cot θ – 1)2 =
=
=
1 –
=
1 –
=
tan θ = 1 –
验算：已知勾弦较 z – x = u = 2 – 1 = 1，股弦和 z + y = t = 2 + √3。
tan θ= 1 –
= 1 –
= 1 –
= 1 –
= 1 – (√3 – 1) = 2 – √3。
所以 θ = 15o，2θ = 30o，是为股旁角。
《下学葊算书》曰：
法以勾弦较为一率，股弦和倍之为二率，半径自乘为三率，求得四率。开方得数减半径为勾旁半角余切。或以股弦和为一率，勾弦较倍之为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数臧半径为股旁半角正切，各倍之为两角。
其意指一率为勾弦较 z – x = u，股弦和 z + y = t，二率指 2(z + y) = 2t，三率指半径自乘。
用比例四率，即
=
，四率 =
。
cot β =
– 半径。若半径 = 1，则配合笔者之答案。
或一率为股弦较 z + y = t， 勾弦较 z – x = u，二率指 2(z – x) = 2u，三率指半径自乘。依旧用以上之四率式可得：
tan θ = 半径 –
。若半径 = 1，则配合笔者之答案。
以上数题笔者之计算法颇为繁复，未知项名达之法是否如此，综观题目形式，相信难有快捷方式。
以下为《下学葊算书》之原文：