自然哲学的数学原理，第五章引理20

《原理》第五章的引理都是为后面作圆锥曲线上的点而服务的。本引理包括两个互为逆定理的部分，后面还有三个推论。下面先看引理的正文。

这个引理是说，给定的平行四边形 的两个相对的点 、 在圆锥曲线上， 和 延长线上的点 、 也在圆锥曲线上， 是圆锥曲线上的动点，且 交 于 ， 交 于 ，则 一定。反之，如果 一定，那么得到的一系列点 一定在同一条过 、、、 的圆锥曲线上。

对引理第一部分的证明，牛顿用到了反证法：连接 、，过 作 ，分别交 、、 于 、、 点；过 作 ，分别交 、、 于 、、 点（图中以虚直线表示以上各线段）。因为 是圆锥曲线的内接四边形，所以根据引理 17 可以得到 为定值。这之后结合相似三角形即可得到结果。

引理第二部分是第一部分的逆定理，用到了前面的引理 18，具体证明过程从略。这一部分其实只要给出三个定点即 、、 就够了。也就是说，从 点向指定方向作成一定比例的线段 、，则不论 、 如何伸缩，、 的交点 始终在一条圆锥曲线上，请参见下图（图中 始终与虚直线平行，以保证 一定，这两个图不见于《原理》，是笔者按照题目画的）。

下面看推论。

推论 1：如果连接 ，与 相交于 点，在 上取一点 ，且 ，则 与圆锥曲线切于 点。（就我手头的《原理》中文版来说，推论 1 和引理正文的图合在了一起，显得线条很杂，这里给分开了）

推论 2：反之，如果 是切线，直线 、 的交点 在圆锥曲线上，则 。又， 是切线时，如果 ：（注意 是切线，这里提到的四条线段都是有方向的，也就是说等号左右的两个比同为正或同为负），则 、 的交点 在圆锥曲线上。

推论 3：两条圆锥曲线的交点不能超过 个。我个人的认识是这样的：二元二次方程有六个系数（三个二次项系数，两个一次项系数、一个常数），但只有五个是独立的，换言之，如果给定五个点就能完全确定一条二次曲线，所以两条二次曲线最多有四个公共点。牛顿的证明当然与此不同。我在另外一个公众号看到这样一种说法：按照代数几何中的 定理，一条 次曲线和一条 次曲线恰好有 个交点，这里包括了普通交点、多重点、无穷远点以及复数交点等情况。

下面谈谈当前我对这些引理的认识。我声明一点：我还没有读完《原理》，所以这些认识很可能是不正确的。我以为，这些引理对于天体力学的研究是非常重要的。因为即使是只有行星轨迹的一小段也将包含无数个点。但我们在观测天体的时候只能观测到天体的有限多个状态，如果考虑到实际便于观测的时机，那能观测到的状态就更少，所以有必要研究只有有限观测数据条件下如何判断天体的轨迹。而切线问题，显然和速度方向直接有关，这将与开普勒第二定律联系在一起。

另外还有一点要解释。那就是看了这个系列的读者会发现，我这个系列里的图中，“圆锥曲线”大多是椭圆，为什么呢？其实就原则来说，文章中的圆锥曲线完全可能是双曲线或抛物线。但是我希望我画出来的图各点位置和原著基本一致，并且曲线和弦的区别要足够明显。经反复试验，笔者所画的圆锥曲线还基本能满足要求，而原著里没有画出圆锥曲线，往往不够直观。