好题解析：矩形与直角三角形结合，求线段最值

看下面这道矩形与直角三角形综合的线段最值问题：

先来看下题目：

题目分析：

这是一道以矩形为背景的题目，已知矩形的边长，点E是AB的中点，求满足条件的点P与点D之间的距离的最小值。

从问题中就可以推断出满足条件的P有多个，需要先找出这多个点，然后算出与点D的距离，再进行比较即可解决问题。

如何确定点P的运动轨迹及满足条件的点P的位置是解题的关键。

先来思考点P满足什么特征呢？

• 点P是△CEP的一个顶点。

• △CEP有什么特征呢？以CE为斜边，且根据条件可以算出CE的长度，那么可以的得到∠CPE=90度。

• 于是就可以得到△CEP是一个定边定角三角形。

• 定边定直角能想到什么呢？

• 直径所对的圆周角等于90度。

• 于是可以找出点P的运动轨迹。

• 点P在以CE为直径的圆弧上运动。

• 且点P要满足在矩形ABCD的边上。

结合图形可以得到，圆与矩形ABCD的CD边有一个交点，AD边有两个交点。

找到符合条件的点P之后，算出它们与点D的距离再进行比较即可。

如图所示，DP1的长度等于CD的长度减去CP1的长度，根据条件可得BCP1E为矩形，则CP1的长度为2，则DP1的长度为2.

如何求DP2和DP3的长度呢？相似的k字模型，根据相似关系得到关于DP2的方程，解方程即可。

算出各长度之后再进行比较即可。

具体解析如下：

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来总结一下，这道题目考查到：

• 矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角。
• 圆的性质：直径所对的圆周角等于90度。
• 定边定角辅助圆模型。
• 矩形的判定和性质。
• 相似的k字模型。
• 相似三角形的判定和性质。
• 解一元二次方程。
• 实数大小比较。
  解的关键是确定点P的轨迹，找到符合条件的点P，然后根据其几何性质进行计算即可。