数学方法001 | “消点法”寻根问祖
通常来说，题目中会有一些点是我们相当难通过位置关系刻画的（如九点圆圆心，四边形对边中点连线的中点等）。这些时候，就需要转化命题了。通过一系列的倒角、倒边变换，可以消掉一些毫无实际意义的点、线、角，并将其转化为一个常见的问题。这种方法有一个名字——消点法。
一般来说，在几何题中，就算是题目中出现了一个中点就已经有一定难度，更何况是两个对边的中点了（很难用中位线去处理）。尽管如此，见多识广的人看到这题必然脱不开与牛顿线（传送门）的联系（其也可以用消点法证明，这在之后也会提到），自然会补全完全四边形。
“如无必要，勿增实体”。这样做只会让图形变得更复杂，而不是简化。事实上，下面的面积做法更直接，并利用了一个往往被人们所忽视，但在小学就早有耳闻的性质：
证 明 ： 延 长 A B 交 C D 于 E （ 不 妨 设 E 就 在 C , M 之 间 ， 因 为 其 余 情 况 皆 同 理 ） 证明：延长AB交CD于E（不妨设E就在C, M之间，因为其余情况皆同理） 证明：延长AB交CD于E（不妨设E就在C,M之间，因为其余情况皆同理）
则 由 共 边 定 理 ， 即 证 A B A E S △ A M E = − 1 2 ( A B A E S △ A C E − A B A E S △ A D E ) ⇔ S △ A C E − S △ A D E = − 2 S △ A M E ⇔ D E − C E = 2 M E 显然成立 . ■ 则由共边定理，即证 \dfrac {AB}{AE} S_{\bigtriangleup AME} = -\frac{1}{2}\left( \frac{AB}{AE}S_{\bigtriangleup ACE}-\frac{AB}{AE}S_{\bigtriangleup ADE} \right) \\\Leftrightarrow S_{\bigtriangleup ACE}-S_{\bigtriangleup ADE}=-2S_{\bigtriangleup AME}\\\Leftrightarrow DE-CE=2ME\text{显然成立}. \blacksquare 则由共边定理，即证AEABS△AME=−21(AEABS△ACE−AEABS△ADE)⇔S△ACE−S△ADE=−2S△AME⇔DE−CE=2ME显然成立.■
于是证明如下（主要思想就是不停地把 E , F , P E,F,P E,F,P之类的难以刻画的点消掉）：
证明： E F // O P ⇔ S △ O F P = S △ O E P ⇔ 1 2 ( S △ O A P − S △ O D P ) = 1 2 ( S △ O B P − S △ O C P ) ⇔ S △ O A P − S △ O D P = S △ O B P − S △ O C P ⇔ S △ A C P = S △ B D P ⇔ B N A N S △ A D P = C M D M S △ A P D ⇔ D M C M = A N B N ⇔ D M ⋅ B N = A N ⋅ C M ∵ △ A N O ∼ △ O M C ∴ A N ⋅ C M = O N ⋅ O M , 同理 D M ⋅ B N = O M ⋅ O N ∴ D M ⋅ B N = A N ⋅ C M . ■ \text{证明：}EF\text{//}OP\Leftrightarrow S_{\bigtriangleup OFP}=S_{\bigtriangleup OEP}\\\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( S_{\bigtriangleup OAP}-S_{\bigtriangleup ODP} \right) =\frac{1}{2}\left( S_{\bigtriangleup OBP}-S_{\bigtriangleup OCP} \right) \\\Leftrightarrow S_{\bigtriangleup OAP}-S_{\bigtriangleup ODP}=S_{\bigtriangleup OBP}-S_{\bigtriangleup OCP}\\\Leftrightarrow S_{\bigtriangleup ACP}=S_{\bigtriangleup BDP}\Leftrightarrow \frac{BN}{AN}S_{\bigtriangleup ADP}=\frac{CM}{DM}S_{\bigtriangleup APD}\\\Leftrightarrow \frac{DM}{CM}=\frac{AN}{BN}\Leftrightarrow DM\cdot BN=AN\cdot CM\\\because \bigtriangleup ANO\sim \bigtriangleup OMC\\\therefore AN\cdot CM=ON\cdot OM, \text{同理}DM\cdot BN=OM\cdot ON\\\therefore DM\cdot BN=AN\cdot CM. \blacksquare 证明：EF//OP⇔S△OFP=S△OEP⇔21(S△OAP−S△ODP)=21(S△OBP−S△OCP)⇔S△OAP−S△ODP=S△OBP−S△OCP⇔S△ACP=S△BDP⇔ANBNS△ADP=DMCMS△APD⇔CMDM=BNAN⇔DM⋅BN=AN⋅CM∵△ANO∼△OMC∴AN⋅CM=ON⋅OM,同理DM⋅BN=OM⋅ON∴DM⋅BN=AN⋅CM.■
当然，有兴趣的读者也可以寻找本题的牛顿线定理解法哦，期待看到不一样的解答！