2021保加利亚数学奥林匹克两道平面几何题的解答

题2.锐角⊿ABC外心为O，在过C的高线上取一点T，使得∠TBA=∠ACB.若直线CO与边AB交于点K，证明:AB中垂线、过点A的高线、直线KT三线共点.

证明:设AD为过点A的高线，过C的高线与AB交于点E,AD与OM交于点R.

显然OM//CE,故有：KM/KE=OM/CE.

又OM/AM=tg∠OAM=ctg∠C,所以OM=AM·ctg∠C

另一方面,MR/AM=tg∠MAR=ctg∠B,MR= AM·ctg∠B.

ET/EB= tg∠EBT=tg∠C,ET=EB·tg∠C

要使点R在KT上，只需KM/KE= MR/ER

只需OM/CE=(AM·ctg∠B)/ (EB·tg∠C)

只需(AM·ctg∠C)/CE=(AM·ctg∠B)/ (EB·tg∠C)

只需ctg∠B= EB/CE,这在RT⊿CBE中显然成立.

命题得证！

题6 在⊿ABC中，AC>BC,点S为其外接圆⍵上弧ACB的中点，I为其内心，直线SI与⍵再次相交于点T.已知D为I关于T的对称点，M为边AB的中点，过点D作AB的平行线于直线IM交于点E.求证：AE=BD.

证明：如图所示.连SA、SB,设SM交⍵于点O.

由于S为弧ACB的中点，M为AB中点，所以SM⊥AB，SO为⍵的直径,点O为劣弧AB的中点,C、I、O三点共线.

由内心的性质知OA=OB=OI,于是点O为⊿AIB的外心，SA、SB分别为圆O的切线.由于SO为⍵的直径，所以OT⊥ST,而点D和点I关于T对称，也即点D和点I关于OT对称，所以点D在圆O上.

由SA、SB为圆O的切线知，四边形IADB为调和四边形，又点M为AB中点，由调和四边形性质知，∠BMI=∠DMB=∠DAI=180º-∠DBI.

设DE 交圆O于点E’,连IE’.则∠IE’D=180º-∠DBI=∠BMI，所以I、M、E’三点共线，于是E和E’重合.显然AEDB为等腰梯形，所以AE=BD.

命题得证！