解一道网红小学几何题（二）

本文解一道网红小学几何题，适合初中学历读者。

问题

如图，长方形 ABCD 中，AB = 4，以 AD 为直径的半圆与 BC 边相切。求半圆与线段 AD、线段 BC 围成的阴影部分面积。

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方法一：几何方法

如图，半圆的圆心为 O，BD 交半圆于 E，半圆与 BC 边相切于 F，连接 OE，OF，OF 与 BD 交于 G。

由于 AD 为半圆直径，则

令

，则

则由同弧所对圆心角等于圆周角的两倍，得

根据扇形面积的计算公式可知，扇形 OEF 的面积为

三角形 OED 的面积为

最后得出阴影部分面积为

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方法二：解析方法

如图，以 B 为原点，BC 为

轴正方向建立平面直角坐标系。为了书写方便，令

那么有

直线 BD 的方程为

半圆的方程为

联立两个方程可解得 E 坐标为 (1.6, 0.8)。

可以看出，阴影部分面积可以看成是由左右两部分组成。左边部分是 BE 线段与

轴围成的面积

，如下图

再计算右边部分，即弧 EF 与

轴围成的面积

，如下图

令

得

那么阴影部分面积为