直角三角形斜边中点背景下的运动问题

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是一条重要的性质，这意味着经过直角三角形斜边中点的直线可以将一个直角三角形分成两个等腰三角形。同时，直角三角形斜边上的中点也常常成为添加辅助线的重要依据。

上图呈现了直角三角形的运动情况：两个顶角互补且两腰相等的等腰三角形或两个底角互余且两腰相等的等腰三角形可以组成一个直角三角形；而两个全等的直角三角形又可以拼成一个等腰三角形。

解法分析：通过分析本题的已知条件以及结论，我们可以发现DF和CF恰好是直角▲BDE和▲BCE斜边上的中线，因此它们的数量关系是相等的。通过观察，可以发现DF和CF的位置关系是互相垂直的，通过斜边中线的性质，可以利用等腰三角形的性质得到∠DFC=90°，以下有两种方法进行证明：

解法1主要利用了两个等腰三角形▲BDF和▲BCF中两底角的外角，利用外角性质得到∠DFC=90°；解法2利用了等腰三角形▲DFE和▲CEF中等边对等角的性质以及四边形的内角和360°得到∠DFC=90°。

总的来说，本题主要利用了直角三角形斜边的性质以及分割后的等腰三角形的性质将问题进行了解决。

解法分析：通过将▲ADE绕点A顺时针旋转45°后，由原题带来的思考，对于变式问题的解决可以从以下四方面进行展开：(1)等腰直角三角形的相关性质；(2)直角三角形斜边上的中线的相关性质；(3)三角形全等的判定；(4)“倍长中线”这一辅助线添加方法的使用。

解法1：作平行线构造全等三角形，利用二次全等证明线段间的关系

解法2：利用现有平行线，利用全等三角形证明线段间的关系

其中解法2是解法1方法的简化。

解法3：倍长中线，构造全等三角形

由此我们可以发现，对于直角三角形+斜边中点背景下的问题，常见的有两种解题办法：①联结直角顶点和斜边中点；②倍长中线，构造全等三角形。

解法分析：通过分析，我们可以发现本题的第(1)问只需要证明▲BQF≌▲AQE即可得到QE=QF，由BF、AE垂直CP，即可得到BF//AE；本题的第(2)问中，没有现成的全等三角形，因此需要构造，倍长中线添加辅助线是首选的方法。本题的解决有两种添线方法，如图1和图2，分别是延长FQ或延长EQ，通过构造全等三角形助力问题解决；本题的第(3)问，根据题意画出图形，如图3和图4，虽然P点位置发生改变，但是辅助线的添线方式和问题解决的方式还是不变的，因此还是延用第(2)问的方式。

对于图形运动问题，首先需要根据题意画出图形，使用常见的基本图形或基本方法助力问题解决，特别地，当点在延长线上运动时，问题解决的路径和辅助线的添线方法还是不变的。