李 贤军：复合逻辑方阵研究的新探索——以立体 逻辑方阵为例
复合逻辑方阵研究的新探索
李 贤军 ( 贵州民族大学文学院， 贵州 贵 阳 550025)
摘要： 根据逻辑方阵的表记对象和范围不断扩大的现 实。 需对逻辑方阵的图示方法进行复合化研究 。 构 造一 个反 映八 个逻 辑形式 的真值关系示意 图— — 立体逻辑方阵 。 它和传 统 逻辑方阵极 为类似 。 便于识记， 也具有普适性特征。立体逻辑方阵还在拓宽推理类型、 丰富和完善逻辑永真公式的形成系统等 方 面有重 要 的理论 意 义。
关键词：复合逻 辑 方阵 ；立体 逻辑 方 阵 ；图示 方法 ；理论 意 义
逻辑方阵自古希腊的亚里斯多德作初步总结并 由古罗马的鲍依修斯 (Boethi us，约 480一 约 524 年) 正式绘出以来，至今已有 1500 多年。最初，传统逻辑方阵的适用范围局限于简单命题，后经学 界同仁的不断探究， 使逻辑方阵的表记范围不断拓宽。 逻辑方阵不仅适用于简单命题 (包括性质命题、模态命题、规范命题 、关系命题和时态命题等 ) ，还适用于复合命题和推理，具有真正意义上的普适 性特征。 根据逻辑方阵表记对象和范围不断扩大 的现实，需对逻辑方阵的图示方法进行进一步探索和研 究，使逻辑方阵的图示方法 由单一化 向复合化和综合化、由平面 图示 向立体图示转变，以建立普遍适 用的复合逻辑方阵。
一、 立体逻辑方阵的构建问题
复合逻辑方阵是指反映六个以上逻辑形式的真假制约关系的逻辑方阵。 它 由多个逻辑方阵复合而成。目前，复合逻辑方阵包括逻辑六角阵、逻辑八角阵和逻辑十角阵，它们分别 由三、六、十个逻辑 方阵复合而成。在学界 ，汪志恺 、周强林 、翟东林和孙启明。 。 等学者在复合逻辑方阵研究方面做 过一定的探索。翟东林和孙启明先生 、周强林先生还用不同的图示方法构建过逻辑八角阵。但是， 其 逻辑八角阵采用平面 的绘制方法，与鲍依修斯绘制的逻辑方阵相 比较，不便于清晰而直观地反映八个 逻辑形式之间的真假制约关系，也不便于识记。为克服这些缺 陷，有必要重新绘制逻辑八角阵。重新 绘制逻辑八角阵采用变平面为立体的绘制方法， 其线段表记的关系与鲍依修斯绘制的逻辑方阵极为类 似，便于识记，我们可称此方阵为立体逻辑方阵。 立体逻辑方阵和传统逻辑方阵一样 ，反映的命题或推理两两之间的真假制约关系均为上反对、下 反对、差等和矛盾四个。但在表记的命题或推理的数量和反映命题或推理两两之间关系方面有很大拓 展。一个传统逻辑方阵在表记的命题或推理 的数量上仅局 限于 四个 ，反映的命题或推理两两之间的关 系仅为六个 。而逻辑八角阵在表记的命题或推理的数量上增加至八个，反映的命题或推理两两之 间的 关系达二十八个 。我们 以联言命题 的非双肢互否命题 pA q、前肢互否命题 pA q、后肢互否命题 pA q、双肢互否命题 pA q 和相容选言命题的非双肢互否命题 pV q、前肢互否命题 pV q、后肢互否命 收稿 日期 ： 2012— 02— 12 作 者简 介 ： 李 贤军 (1968一 ) ， 男 (苗 族 ) ， 贵州 务川 人 。贵州 民族 大学 文学 院 副教授 。研 究方 向 ： 逻 辑学 、 语 言学 。 ·49 · 万方数据题 pV q、双肢互否命题 pV q 的真假制约关系为例进行推导，这八个命题的真值情况见下表 l ： 表 l八个命题的真值情况 p q P q P 八q P 八q pA q P八 q pV q PV q PV q pV q + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 由真值表可以看 出： 1．具有上反对关系的命题共六组： ( 1) P八q 与 pA q ( 3) P八q 与 P八 q ( 5) pA q 与’ P八 q 2．具有下反对关系的命题共六组 ： ( 1) PV q 与 pV q ( 3) PV q 与 PV q ( 5) pk／ q 与 PV q 3．具有差等关系的命题共十二组： ( 1) P八q 与 pV q ( 3) P八 q 与 PV q ( 5) P八q 与 pV q ( 7) P八 q 与 PV q ( 9) P八q 与 pV q ( 11) P八 q 与 PV q 4．具有矛盾关系的命题共四组： ( 1) P八q 与 pV q ( 3) P八’ q 与 PV q 以上各组命题之间的真假制约关系可以用 图 1所示的逻辑八角阵表示。 它 由正方体这种几何图形 构成，在逻辑上可称为立体逻辑方阵，它是逻辑八角阵的代表形式。 ( 2) pA q 与 P八 q (4) pA q 与 pA ’ q ( 6) P八 q 与 pA q ( 2) pV q 与 PV q C4) PV q 与 PV q ( 6) pV q 与 pV q ( 2) P八q 与 pV q ( 4) pA q 与 pV q ( 6) pA q 与 pV q ( 8) pA q 与 pV q ( 10) P八q 与 pV q ( 12) P八 q 与 PV q (2 ) ( 4) pA q 与 pV q pA q 与 PV q ·50· A l ： p V q 图1立体逻辑方阵 上反对 下反对 差等 矛盾 图 例 万方数据 可以看 出：这个代表性逻辑八角阵反映出来的真假制约关系与简单逻辑方阵反映出来的真假制 约关系极为类似 ，便于识记。传统逻辑方阵的最上端这条线段为上反对关系 ，最下端这条线段为下反 对关系，两侧的线段为差等关系，传统逻辑方阵的对角线为矛盾关系。在立体逻辑方阵 ( 图 1) 中， 方 阵的最上端的 ABCD平面中，AB、BC、CD、DA、AC、BD全为上反对关系；最下端的 A B。 C。 D 、 平面 中， A B 、B C。 、c D。 、D1 A。 、A C 、B D 全为下反对关系；从 ABCD平面 的任何一个定点连接 A B C D。 平面 的任 何一个定点所形成的所有线段中，除立体逻辑方阵的对角线以外的任何线段均为差等关系。即图 1 中 的 AA 、AB 、AD 、BA 、BB 、Bc 、CB 、CC。 、cD 、DC。 、DD 、DA ， 均为差等关系；立体逻辑方阵中的对 角线 Ac 、BD 、C A】 、DB 全为矛盾关系。 另外 ，立体逻辑方阵还具有包容性 。即如图 1 的立体逻辑方阵还可划归成图 2 所示 ( 图例 同上) 的也是翟东林和孙启明先生绘制过的平面逻辑八角阵： A ： P V q 图2平面逻辑八角 阵 BI： P V q 如将 图 2 中的 A、D 向右平行移动至 D、A 之上，将 B、c 向左平行移动至 C、B 之上 ，即划归成 图3 所示的也是周强林先生绘制过的表记模态命题真假制约关系的平面复合逻辑方阵。 D ： PA q A ： P A q D 1： P V q A l ： P V q 图3平面复合逻辑方阵 C ： P A q B ： P A q C l ： P V q B I： P V q 上 图 1、图 2、图 3 均由 ABC。 D 、BCD A 、CDA B 、DAB C 、DBD B 和 ACA C 六个传统逻辑方阵复合 ·5 1 · 万方数据而成 ( 图 4) 。 差等 C 1 反 矛 盾 反 反 B B 差等 差等 矛 盾 B 1 反 D 1 D 1 A 反 C C 反 D 矛 盾 矛 盾 反 反 A a A 1 B 反 反 B 1 C 矛 盾 矛 盾 等 C 1 D 1 反 图4传统逻辑方 阵 B l A 1 反 C 1
二 、立体逻辑方阵的表记对象具有普遍性
因 “ 同一真值函项可 以用无数的命题形式来表示 ”。 等、上反对和下反对关系的命题形式列举穷尽 。如果我们将逻辑形式的 自变元限定在 2— 4 个，每个逻 辑形式又有前肢互否、后肢互否、双肢互否和非双肢互否等形式 (异变形式) 及其否定形式。这些逻辑 形式的真值关系有其 内部规律性 。如联言命题 的异变形式 ( 即原命题 的前肢互否、后肢互否、双肢互 否和非双肢互否命题 ) 与相容选言命题 的异变形式 ( 见前述 ) 、充分条件假言命题 的异变形式 、必要 条件假言命题的异变形式之间的真假制约关系，联言命题、相容选言命题、充分条件假言命题、必要 条件假言命题的异变形式及其否定形式之间的真假制约关系，复合推理无效式的异变形式及其否定形 式之间的真假制约关系均可 以通过立体逻辑方阵来表示。可见，立体逻辑方阵在表记范围上和传统逻 辑方阵一样也具有普遍性。这笔者在拙文 《 关于建立立体逻辑方阵的构想》 《 复合命题推理与立体逻辑方阵》” 中有过系统论述，这里不赘述。
三、立体逻辑方阵的理论意义
1．进一步完善逻辑推理系统
’ 个传统逻辑方阵可构建 12 个有效推理。具体为 2 个上反对关系推理、2 个下反对关系推理、4 个矛盾关系推理 ( 等值推理 ) 和 4个差等关系推理 。而一个立体逻辑方阵可构建 56 个有效推理。即 l 2 个上反对关系推理、12 个下反对关系推理、8 个矛盾关系推理 ( 等值推理) 和 24 个差等关系推理。 立体逻辑方阵表记 的逻辑形式极为广泛，可构建推理纷繁复杂，这大大完善了逻辑推理系统。
2．是推导逻辑永真公式 的直接依据
逻辑方阵可以直观反映各种命题之间的真值对应关系， 永真公式便是这种真值对应关系的特殊形 式。立体逻辑方阵中的各逻辑形式之间的真假制约关系是推导逻辑永真公式的直接依据 。如图 1 中， AB、BC、CD、DA、AC、BD为上反对关系 ( 不能同真， 可以同假) ，它们的关系用 “ 合取的否定” 表示。 即 (A八B) 、 ( B八C) 、 (C八D) 、 ( D八A) 、 ( A八C) 、 D A 、A C 、B D 为下反对关系 ( 不能同假， 可以同真 ) ，它们的关系用 “ 相容析取式 ” 表示。即 A V B 、 B V C。 、C。 V D 、D V A 、A V C。 、B V D 均为永真公式。AA 、AB 、AD 、BA。 、BB。 、BC 、CB 、CC 、CD 、 自然，逻辑上不可能将所有的具有矛盾、 差 《 立体逻辑方阵再探》 一(B八D) 均为永真公式。A B， 、B C 、C D 、 Dc 、 DD 、 DA ， 均为差等关系 ( 上位命题真，下位命题必真；下位命题假，上位命题必假 ) ，它们的关 ·52 · 万方数据系用 “ 蕴涵式” 表示。即 A—A 、A—B 、A—D 、B—A 、B—B 、B—c 、C—B 、c—c 、c—D 、D—C 、 D—D1 、D—A ． 均为永真公式。同样， A。 一 A、 B 一 A、 C 、 C 】 一 C 、 D 一 C 、 C ， 一 D、 D1 一 D、 A 一 ～总之，立体逻辑方阵的构建标志着逻辑方阵的图示方法 由单一化 向复合化和综合化、由平面图示 向立体图示转变 。立体逻辑方阵和传统逻辑方阵一样，在表记对象上具有普遍适用性。还在完善逻辑 推理系统和推导逻辑永真公式系统等方面具有积极意义。 D 一 A、 A 一 B、 B 一 B、 C 一 B、 B 一 ， 也为永真公式。
参 考 文献 ： [1】 汪志恺． 复合判断问对当关 系及逻辑复合方阵Ⅱ ]． 逻辑与语 言学习， 1988， (2)： 2． 【 2]周强林． 模 态判断与牲质判断U]． 四川师范学院学报(哲学社会科 学版)， 1994， (4)： 121． [3】 翟 东林 ， 孙启 明． 论 复合判 断形式的逻辑方阵及其逻辑联 系卟 安徽大学学报(哲 学社会科学版)， 1993， (3)： 42． [4]黄健． 复合命题之间的真值关系及其直接推理 系统初探 Ⅱ ]_宁德 师专学报 ： 哲社版 ， 1995， (2) ： 3． 【 5】 李 贤军． 关于建立立体逻辑方阵的构想Ⅱ 】 ． 毕节学院学报 ， 2007， (3)： 37— 40． 【 6】 李贤军． 立体逻辑方阵再探Ⅱ 】 ． 毕节学院学报 ， 2009， (5)45— 50． 【 7]李 贤军． 复合命题推理与立体逻辑方阵U】 ． 毕节学院学报 ， 2010， (5)： 36- 43．