杨易程《中考数学备考满分策略》之“一题多解”
数学是一门逻辑性较强的学科，教师在教学中要注重提升学生的数学学习能力，培养学生的数学学习思维。众所周知，一题多解，可以开阔思路，提升分析问题和解决问题的能力，培养发散性思维，融会贯通知识和方法。而学生知道一题多解的好处，但怎样才能一题多解却是难点。
一题多解，实质就是通过多角度多层次分析，探究问题的多种解题策略。走到目的地有很多的方法，同时也有很多条路。不仅仅只局限在一条路和一个方向，有很多的方式随你选择。一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题。培养发散思维及联想能力通过一题多解的训练。其实一题多解法贯穿于所有学科。“一题多解”是发散性思维的一种表现形式。发散思维（Divergent Thinking），又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。如“一题多解”、“一事多写”、“一物多用”等方式，培养发散思维能力。想象是人脑创新活动的源泉，联想使源泉汇合，而发散思维就为这个源泉的流淌提供了广阔的通道。创新思维的技巧性方法中，有许多都是与发散思维有密切关系的。发散思维的主要功能就是为随后的收敛思维提供尽可能多的解题方案。这些方案不可能每一个都十分正确、有价值，但是一定要在数量上有足够的保证。
因此在解题过程中，我们若能从概念、常用思想方法、知识的常用方法、数学模型几个维度入手，往往可以帮助我们发现问题的切入点，自然地找到问题的多种突破策略，这就是高中数学题一题多解的套路。众所周知，一题多解，可以开阔思路，提升分析问题和解决问题的能力，培养发散性思维，融会贯通知识和方法。而学生知道一题多解的好处，但怎样才能一题多解却是难点。
“一题多解” 是指以待解数学题为核心，从多方面对类题进行思考分析，选择多种方法解答数学题目，最终得到正确结果。指通过不同的方法求解数学题目，在逻辑符合定理的情况下得到完全相同的答案。这种解题方式在高中时期数学解题中经常出现，例如空间几何中，可以通过建立坐标系的方式进行解题，也可以通过建立辅助线的形式进行解题，但是得到的结果是一样的，在考试中取得的分数也相同。在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。“一题多解”一题多解是中考数学备考应试教学的一种重要方法。初中数学复习模式多种多样,运用一题多解的数学思想进行复习也是非常重要的一种复习模式。“一题多解”重在训练学生解题方法和解题思路。尤其是将它运用到初三的数学复习中,在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，以探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生的思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果
一题多解，实质就是通过多角度多层次分析，探究问题的多种解题策略。因此在解题过程中，我们若能从概念、常用思想方法、知识的常用方法、数学模型几个维度入手，往往可以帮助我们发现问题的切入点，自然地找到问题的多种突破策略，这就是高中数学题一题多解的套路。众所周知，一题多解，可以开阔思路，提升分析问题和解决问题的能力，培养发散性思维，融会贯通知识和方法。运用一题多解方式，探究解法之间关系，提高学生数学学习能力的策略：抓住本质联系，尝试分割增补，借助表象特征，丰富思维方式。在中考数学复习备考中，不少学生把重点放在做题上，解题过程中能够了解自己在某一个知识点上的不足，能起到查缺补漏的效果，并从中总结解题经验。但从解题经验可以知道，“题海战术”的效果并不是十分显著，重复地进行解题，学习效率也不高，达不到理想的效果。而在数学解题过程中，需要选择具有代表性的题目，从中总结知识点，从多个角度进行思考，寻找多种解题方法。近几年中考题中出现的“多解题” 题意构思精巧，综合性较强，在解答时一般需要灵活运用一种重要的数学思想方法——分类讨论。这类题在对学生进行多向思维的培养，优化思维品质，克服思维的片面性等方面有重要作用。这类题的思维空间较大，解题时常容易出现考虑不全或不严谨，导致漏解、错解，在考试时节约解题时间，保证解题效率，减少计算失误。因此我们必需熟练掌握这一题型的特征与解法。
作为准备参加中考学生，在复习应考中如何面对数学学科 “知识点众多，题型灵活多变”的特点，寻求成绩突破，应从培养自己的逻辑思维能力，尤其是发散性思维出发，通过“一题多解”的针对性训练，应对繁杂的数学题型，以找到最快速、最适合自己的解题方法。
一题多解，实质就是通过多角度多层次分析，探究问题的多种解题策略。因此在解题过程中，我们若能从概念、常用思想方法、知识的常用方法、数学模型几个维度入手，往往可以帮助我们发现问题的切入点，自然地找到问题的多种突破策略，这就是初中数学题一题多解的套路。与一题多解对应的是“一题多变”。的常用方法有：①变换命题的条件与结论；②、保留条件，深化结论；③减弱条件，加强结论；④探讨命题的推广；⑤考查命题的特例；⑥生根伸枝，图形变换；⑦接力赛，一变再变；⑧解法的多变等。
进行一题多解的训练，通常采用两种方法：一种是先找出常规解法，然后进行发散性的思考，以探求不同的思路；另一种是摆出条件和问题后，不找常规解法而直接进行发散。前者属于“同中求异”，后者属于“异中求同”。因为这两者的目标是一致的：在发展思维的前提下，“殊途同归”。在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。
在设置一题多变练习题时，教师要尊重学生的个体差异，结合学生思维能力和认识水平的不同，巧设层次性变式问题，以满足不同层次学生的学习需求。对此，教师需要把握好以下事项：一是要注意思维训练的层次性，变式设计不应局限于单一知识点上，而应恰当地进行拓展和延伸，以拓宽学生思维能力。二是要把握梯度，合理设计，难度不可过大，也不可过易，要注意知识横纵向联系，并充分预留思考探究时间和空间，以促进学生思维水平的提升。
一、中考代数一题多解示例
代数是初中数学的重要部分，也是初中学生经常接触的内容。将一题多解应用到代数教学中，可以夯实初中生的数学基础，强化初中生的数学运算能力，提升初中生在面对千变万化的数字时的统筹综合思维和逻辑灵活性。小学阶段主要以培养运算能力为重点,而中学随着学生理解能力的提高,要逐步加强逻辑思维能力，所以在代数的运算过程中，学生们思维要灵活多变，运用常规通分、特值法、消元法来辅导运算，老师在教学的过程中也要总结各种方法来辅导学生学习数学。
数学是研究事物的空间形式和数量关系的,最重要的数量关系是等量关系,其次是不等量关系。最常见的等量关系就是方程。比如等速运动中,路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系,可以建立一个相关的等式:速度?时间=路程,在这样的等式中,一般会有已知量,也有未知量,像这样含有未知量的等式就是方程,而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程。我们在小学就已经接触过简易方程,而初一则比较系统地学习解一元一次方程,并总结出解一元一次方程的五个步骤。如果学会并掌握了这五个步骤,任何一元一次方程都能顺利地解出来。初二、初三我们还将学习解一元二次方程、二元二次方程组、分式方程,到了高中我们还将学习指数方程、对数方程、线性方程、参数方程、极坐标方程等。解这些方程的思维几乎一致,都是通过一定的方法将它们转化一元一次方程或是一元二次方程的形式,然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决。物理中的能量守恒,化学中的化学平衡式,现实中的大量实际运用,都需要建立方程,通过解方程来求出结果。因此同学们一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好,进而学好其它形式的方程。所谓的“议程”思维就是对于数学问题,特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系,善于用方程的观点去构建有关的方程,进而用解方程的方法去解决它。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。
代数几何是数学的一个分支，是将抽象代数， 特别是交换代数，同几何结合起来，它可以被认为是对代数方程系统的解集的研究，代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系，我们可以运用其他的知识来辅导学习初中数学。因此，在初中阶段，我们在初中数学学习代数的时候，要善于从多角度去思考问题，无论用哪种方法解答题目，都需要弄通情景、深入本质，这样才能开拓我们的思维，最后实现高分高能。
二、中考几何一题多解示例
平面几何是以平面图形为主的教学，融合有公式、定律等数学知识，涉及图形的数量关系和空间位置关系，数形结合，变化多端。在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造。在求解几何问题时,由于对问题的理解,知识经验等的限制。同学们往往一道题仅用一种方法解 答,而实际上,由于思考的角度不同,一些典型几何问题有不止一种解答方法。一题多解的训练是一种简捷方法。有的可以从不同辅助线去考虑一题多解,有的还可以从三解或代数方法去考虑一题多解。同学们在学习中,不妨多思考出几种新的解题方法。一题多解并不是目的,而是要通过这种训练,培养思维的灵活性和创造性,并选取最佳的解答方法。中考试卷中的几何综合题具有非常大的区分度,对学生的能力要求很高。只有在日常的学习中努力提高分析问题处理问题的能力,特别是多一些添加辅助线的方法,才能在遇到这类问题时不会感到十分吃力。几何图形一题多解有助于帮助学生更好地理解几何图形，在解这些图形时，运用一题多解可以激发学生的学习兴趣，有助于培养学生的创新能力，可以使学生对问题进行深入思考，有助于深化知识，培养学生的发散性思维.,特别有利于培养学生的发散思维能力,在解决几何综合题中有着不可替代的作用。
三、中考数学压轴题多解示例
全国各地中考数学题的最后3题一般是一道压轴题,它综合性强,难度大,区分度高,在很大程度上体现了一份试卷的选拔功能。对于中考数学，压轴题往往是是考生最怕的。很多考生都以为它一定很难，不敢碰它。历年中考，压轴题一般都由3个小题组成。第(1)题容易上手，得分率在0.8以上;第(2)题稍难，一般还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第(3)题较难，能力要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间。而从近几年的中考压轴题来看，大多不偏不怪，得分率稳定在0.5与0.6之间，即考生的平均得分在7分或8分。
中考数学压轴题分为三类，区别对待：一是函数解析式：基本的思路：把常数、变量（x、y）都当成已知，分别用勾股定理和三角形相似，列出等式，并化简成y=f(x)形式即可。二是平面几何题：解题方法最为重要，主要有：截长补短、倍长中线、平行线、双垂线、剪下来贴上去等；转化：把要说明的问题，转化为已经做过的题目。三是函数综合题：主要是转化，还可分类：等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等涉及中考数学压轴题常见一题多解的有：①线段、角的计算与证明；②一元二次方程与函数；③多种函数交叉综合问题；④列方程(组)解应用题⑤动态几何与函数问题；⑥几何图形的归纳、猜想问题。
中考数学压轴题入口宽,所涉及的知识多,又包含了不少重要的基本图形,只要熟悉其部分知识和图形,就很容易找到解题的突破口,并且有多种思考方法。中考数学压轴题复习中,很多学生对章节习得零散碎片化的知识,技能,思想方法等不能及时提取和有效组合,分析问题和解决问题缺乏分析整体,聚焦局部,转化分解的应变能力。因此在日常复习教学中,选择典型习题,挖掘题目通法,提炼解题模型,尝试通过多种方法解题,有助于知识框架的搭建和完善,更有利于学生能力的提高。
在一题多解的训练中，选择恰当的题目是非常重要的。题目要从学生已掌握的知识实际出发，题目中条件与条件、条件与问题之间的关系，都应有一定的广度，要能够为求异思维的展开，提供不同的发散点。思路狭窄的题目，是不能为一题多解选用的。
数学是一门将数字置于固定的公理架构上的学科，是研究现代科学技术必不可少的工具。在如今的初中数学教材中，一方面引入了许多实际应用性的知识点，另一方面也加入了更多深奥的公式，同时考察的方法也更加灵活，其目的在于培养学生对问题本质的剖析和理解，考察其逻辑思维能力和分析解决问题的能力。通过一题多变，可以让学生脱离就题论题的思维模式，提高学生思维灵活性、深刻性及创造性，达到举一反三的目的。在平时教学过程中，教师要重视一题多变，优选有效策略，加强变式训练，从而发展学生思维能力，提高学生解题能力。
参考文献：
[1]吕素楠.利用”一题多解”培养学生的数学学科核心素养[J].数学教学通讯，2020（03）
[2]范连众，徐志强.善用”一题多解”提升学生的数学素养[J].辽宁教育，2020（03）.
[3谢江华.巧用一题多解，提高初中生数学素养[J].数学学习与研究，2017（12）