三角形(二十五)
我们再来看一个对称性的应用。
已知∠AOB=30°,OA=7,OB=24,在OB上取点P,AC上取点Q,设d=PA+PQ+QB,求d的最小值。
要我就直接猜25,理由是勾股数。
当然,最后的答案确实是25,而且我也确实没有事后诸葛亮——对数字敏感绝对是有好处的。
既然能用上勾股定理,那么就应该会出来直角三角形,但是图中一个直角都没有,所以我们肯定要加辅助线,构造出一个直角三角形,并且这个直角三角形的两条直角边的长度分别为7和24。
你能不能想到这些?
这是我的思路,而且我觉得这是一条非常漂亮的思路。再次强调对数字的敏感能帮助我们解决很多的问题,千万千万不要小看这种感觉的培养,解题的速度和你对题目的感觉息息相关,而对题目的感觉最初往往来源于对数字的敏感。
更漂亮的还在后面!
这个直角三角形两条直角边定了,那么斜边应该怎么样?如果你只回答出斜边是25,那还是差点意思。
正确答案是:斜边确实是25,但是斜边两个顶点恰好是一条长度为PA+PQ+QB的折线的顶点,这样这条折线的最小值就是25!
是不是很精彩?你再仔细体会一下,为什么会是这样?必然用的两点之间线段最短这条,那么根据我们的猜测,最短距离是25已经构造出来,那么最后一定是拿折线段和这条直角边去比较,这样才有意义。
所以接下来的问题是:怎么构造出这个合适的直角三角形?
由于OA和OB之间的夹角只有30°,不满足条件,不过30°和90°之间好歹还是有很大关系的:一个30°的角是90°的角的1/3,除此之外呢?
除此之外可以按下不表,不过既然是1/3,我们再补上一个60°,不就有直角了么?那么问题来了,是在OC的上方还是OB的下方作一个60°呢?
显然都不合适,理由是破坏了对称性。那么应该怎么作呢?把60°一分为二,分别在OC上方以及OB下方作一个30°角,这样看起来就完美了。
下一步就是怎么把这些线段给归置到位的问题了。很显然,OA应该被对称到OF上,变成OA’,同理,OB对称到OE上,变成OB’,此时长度为25的线段就出现了:A’B’。但是折线段呢?
我们注意到,QB’=QB,PA’=PA,所以折线段B’QPA’的长度就是PA+PQ+QB,很显然,折线段的长度一定是大于等于P’Q’的,当且仅当B’,Q,P,A’四点共线的时候取等号,此时最小值为25.
我们再看一个例子。
在四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,∠ABD+∠BDC=90°,求四边形的面积。
如果对数字敏感的话,你会发现什么?我们把30和40分在一组,14和48分在一组,这是两组勾股数,而且第三个数都是50,这是巧合么?
一定不会是巧合——何况条件中还有∠ABD+∠BDC=90°。
然而令人沮丧的是:这两组勾股数所在的边都不挨着,哪来的勾股定理呢?再说了,这AB和CD看起来也不像垂直的样子啊?!
所以接下来的工作就是凑出直角三角形来,并且这两个直角三角形有一条公共的斜边,这条斜边的长度为50。
注意到还有一组很诡异的角度和:∠ABD+∠BDC=90°,我们很自然要把这两个角放一起。于是思路就来了:我们做BD的中垂线为对称轴,作AB的对称线段DE,连接BE。显然四边形EDCB的面积和ABCD是相等的。
这时候我们有∠EDC=90°,而且DE=30,CD=40,于是EC=50,再由勾股定理的逆定理可知,∠EBC=90°,这时候求四边形EDCB就变成求两个直角三角形的面积——而且直角三角形的直角边长都是已知的。
关于对称的题目当然有很多,这里仅仅是摘了几个比较典型的例子。对称的思想是超出了平面几何的范畴的,可以延拓到代数中去。因此要提醒孩子,把数学当成一个整体来看待,不要光局限在一个小框框里。对数学的认识提升了,这才是最根本的提升。