数论中一个非常基本但很重要的定理

威尔逊定理：设p为素数，则p整除(p-1)!+1.

威尔逊(John Wilson，1741-1793)曾是剑桥大学的一名高材生，后来当了律师和法官，但他在数论中却作出了一个重要的发现。当他还是学生的时候，他叙述了一个至今仍以他的名字命名的定理：对任意素数p，均有p整除(p-1)!+1；而且如果(q-1)!+1能被q整除，则q必然也是素数。这是数论中最为基本而重要的定理之一，它的意义首先在于给出了一个正整数为素数的充分必要条件，因而在理论上就完全解决了有关素数的判别问题。当然，威尔逊并没能证明自己的这个定理，他只是猜想其正确性，而且就此事专门写信请教当时著名的英国数学家华林(E.Waring，1734-1798)。有趣的是，华林本人也没能够证明威尔逊定理，他只是在自己1770年出版的名著《代数沉思录》中公布了这条定理。随后，在1773年，法国大数学家拉格朗日(Lagrange，1736-1813)才第一个给出了威尔逊定理的严格证明。
威尔逊并不是一个数学家，他对数学的贡献也只限于此，却能以这样一个基本定理而流芳百世，这多少是有点令人羡慕和惊奇的。其实威尔逊并不是第一个做出这一猜想的人，德国数学家莱布尼茨(Leibniz，1646-1716)在1682年就已经发现了它。据说威尔逊还认为他的这个优美定理永远不会被证明，因为人类没有好的符号来处理素数。后来，当古今最伟大的数学家高斯听说了威尔逊的观点后，仅仅站着想了五分钟，高斯就证明了威尔逊定理！为此，高斯批评威尔逊说:“他需要的是概念，而不是符号。”
下面我们使用同余的概念给出威尔逊定理的证明，读者将看到它是多么的简洁明快。

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本文编辑：郎培华