一学生数学题有感——美丽的躯体，无趣的灵魂，满脑子乱七八糟

数学题目对学生“形式主义”的培养

昨天看到一位同学在我的文章后面留言，写了关于

的极限证明，我一看过程就“乐”了，几乎所有的定理和公式使用的都是“似是而非”，我们可以逐步分析其过程，来发现其中存在的问题。

为变而变

我们来看一下这位同学的思路，为了求

的极限，把问题一般化为求q 的 n 次方的极限，这点是没有问题的，也是解决问题必要的“联想”，把问题归因到“理论”，用理论指导实践，这个时候如果这位同学如果能想起公式

,直接套用公式非常容易得到

.可惜的是这位同学似乎忘记了这个公式的结论，就开始对这个公式进行证明。

本来忘记公式是一件非常正常的事情，再次证明是一件非常严谨的精神，这点值得肯定。但是在证明的时候并没有去分析使用什么方法来证明，而是直接采取了数学中非常常用的“取对数进行变形”，即

，这个思路很显然来自于隐函数求导中的“对数求导法”，至于为什么用这种方法，或许这位同学本身也不甚清楚。

但是这种现象并非罕见，许多同学做数学题目的时候并没有一个非常明确的“思路”，做数学题目就是“为变而变”，变形之后就靠“蒙”了。

不求甚解

所以接下来就在这个基础上直接对 nlnq求极限了，这个过程更是让人看到了什么是不求甚解。我们可以看到这位同学求极限的时候直接按照“洛必达法则”进行，过程如下：

我们可以看到第一步是为了使用洛必达法则去拼凑形式感，第二步使用了洛必达法则分子分母分别求导，第三步则是利用 ln n 是无穷大和其倒数为无穷小得到极限为 0.

看着好像像模像样，孰不知在求对数的时候就把 q<0 给排除掉了，在利用洛必达法则的时候忽视了只有可导函数才能使用洛必达法则，数列是离散的根本就不可能使用洛必达法则。在第二步求导的时候lnq 是个常数，导数应该为零，却被写成 了 1/q，1/n的导数（假设形式上可以求导）却和 ln n 的导数记颠倒了。

数学中的“形式主义”，没有“条件”的真理往往都是谬误

数学是一门形式学科，在学习的时候很容易非常关注形式的变化，也就是我们经常说的恒等变形、化简、计算、不等式……这些形式的变化确实可以给问题的解决带来更多“可能性”，但是这些形式变化大都是需要条件的，没有“条件”的整理往往都是谬误，我们可以看到这位同学在做题目的时候，完全无视其所用公式的“情景”，无视公式所必须的“条件”，完全无视数列和函数的区别，甚至记忆发生了很大的偏差还不知情。

这种“内容”和“形式”的偏离，就是我们经常说的“形式主义”，形式主义在数学这种学科中尤其容易泛滥，特别是那些“题海战术”几乎无视题目中的原理，无视原理对实践的指导作用。

怎么输入，就怎么输出

我们可以通过这一道题目的解题过程发现这位同学在学习过程中对知识的整理是非常混乱的，这说明其在学习过程中非常注重解题方法，忽视原理的来源和使用场景，对于函数和数列的混淆则说明其变量思维基本没有形成，数学思想极其薄弱，以至于公式记错、条件忽视，只剩下莫名其妙和解题无关的一个“套路”——对数求导法。

这种情况并非偶然，无外乎怎么学，就怎么用，学得乱七八糟，当然用的时候也是乱七八糟了。

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作者：虹野

编辑：虹野