第24讲 典型例题与练习参考解答：不定积分分部积分法与一般计算思路
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第24讲：不定积分分部积分法与一般计算思路
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算如下不定积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
(1) ；
(2) ，并求 ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算如下不定积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
【参考解答】：(1) 令 , ，则
(2) 令, ，则
(3) 令 , ，则
【注】：对于 ，选择合适的原函数有时候可以减少计算，提高计算效率. 如
(4) 令 , ，则
对上式右端的积分再用一次分部积分，仍将 凑入微分号内，得
对比两端表达式，移项整理得
【注】：以上计算过程出现需要计算的积分表达式，并且通过移项整理可以计算得到需要的结果，像这样的循环结果构成一种“良性循环”. 除了这种情况，还有些积分计算，通过换元、分部积分过程，还会出现一些结构相同的积分表达式，从而使得一些无法计算、或者计算复杂的中间表达式达到相互抵消来完成计算.
(5) 令, ，则
(6) 【思路一】 令, ，则
【思路二】 令 ，则, ，于是
练习2：计算如下不定积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
【参考解答】：(1) 令, ，得
(2) 将被积函数拆分为两部分，有
【思路一】 令 ，得
【思路二】 由分部积分法，得
(3) 【思路一】 令 , ，直接分部积分法得
【思路二】 令 ，则
于是由换元法得积分为
于是令 ，由分部积分法列表如下
由以上列表可得
(4) 令 , ，则
从而可得
(5) 令, ，则得
(6) 令 ，则可得
于是由分部积分法，得
回代可得积分为
练习3：求如下定义的 的递推式，并计算 ：
【参考解答】：由分部积分法，有
移项整理得递推公式
根据以上递推公式，得
其中
练习4：证明递推公式：
【参考解答】：拆分函数表达式，得
【注】：于是由 或，最终归结为计算 或 . 计算可得
练习5：已知 的一个原函数为 ，计算 .
【参考解答】：令, ，则得
练习6：设 ，求 的递推公式，其中 是非负整数， . 由此计算不定积分 .
【参考解答】：由不定积分的分部积分法，有
由递推公式得
练习7：计算如下不定积分：
(1) ；
(2) ，并求 ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【参考解答】：(1) 【思路一】直接分部积分法. 由于
令 ，于是
从而得
【思路二】先换元后分部. 反三角函数代换. 令 ，即 ，则 ，
代入得
其中转换后的积分用分部积分法，得
即
于是
(2) 记 . 由
于是由以上公式，得
从容可得递推公式
于是可得
(3) 【思路一】 先分部，后换元. 由于
所以
于是令 ，即, ，则
再令 ，代入得
【思路二】先换元，后分部. 令 ，则
代入积分式得
【注】：不定积分一般综合使用换元法与分部积分法来计算，一般都是先换元后分部.
(4) 拆分被积函数，得
(5) 【思路一】 由半角公式和分部积分法，得
【思路二】 直接三角恒等式变换与拆分积分，得
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第九届全国初赛非数学专业真题解析
填空题第5题：不定积分计算思路与方法
不定积分计算的一般思路分析与探索(10分钟)
不定积分换元法分部积分法综合应用案例解析(14分钟)
第十届全国初赛非数学专业真题解析
填空题第3题 不定积分计算的一般思路与步骤
换元法与分部积分法计算积分思路探索与分析(16分钟)
拆项凑微分方法计算不定积分(8分钟)
第十一届全国初赛非数学专业真题解析
填空题第2题：不定积分的参数方程计算方法
不定积分的参数方程计算方法(15分钟)
第一学期：一元函数微积分综合应用基础与提高
10不定积分计算的一般思路与方法 (14分钟)
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