非欧几何的历史意义何在
大江东去，浪淘尽，千古风流人物。回望19世纪的风风雨雨，一方面是西欧与北美的技术革新、经济发展，推动了自然科学的进步；另一方面是工业国家侵犯他国，倾销商品，破坏文明，各种冲突不断。数学界也是波涛汹涌，近代科学经过了16、17世纪的初创、18世纪的酝酿，到了19世纪进入了全面发展时期，数学也呈现出了前所未有的创造力——几何、分析、代数都发生了深刻的变化，数学对象急剧扩大，新的分支大量涌现，数学思想大大开拓，等等。这些，促成了数学史上的第二次数学革命。我们今天要介绍的非欧几何革命就是发生在几何领域的深刻变革。
01 非欧几何的诞生
从欧几里得《几何原本》对于第五公设的谨慎说辞，到无数数学家对迷一样的平行公设的研究探讨，一切的一切，在19世纪开花结果。历史的发展决定了非欧几何的诞生，虽说如此，但当时数学家们大胆的假设、开创性的思想，超越性的认识，时至今日，仍让人叹为观止。穿梭于非欧几何的烟雨之中，开创者的故事同样可歌可泣，罗巴切夫斯基对真理的执着震撼人心，波尔约的放弃令人扼腕叹息，数学王子高斯的却步值得深思。
非欧几里得几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神（而不是他们所作的推理）影响的程度是多么厉害。萨凯里曾经拒绝过非欧几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的。但是在100年后，高斯、罗巴切夫斯基和波尔约满怀信心地接受了新几何，他们相信他们的几何在逻辑上是相容的，并且相信这个几何和欧几里得几何一样正确。非欧几何的创立，打破了两千多年来欧式几何一统天下的局面，从根本上改变了人们的几何观，自希腊以来数学的一次伟大变革。历史就是这样，太阳可能暂时被乌云遮住，伟大变革到来之前的黎明更加黑暗，但是曙光终会穿破黑暗，破晓终会到来，在这之后，便是崭新的时代。
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02 非欧几何、罗氏几何和黎曼几何的比较
首先，三种几何是基于不同的假设产生的。欧氏几何的第五公设为：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。换一个好理解一点的等价公理就是“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”。罗氏几何将第五条公设改为：过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交。而黎曼则改为过一定直线外一点，永远都不能作“直线'平行于这条定直线。
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基于上面的假设，我们就能明显看出区别来了。它们的结论适用于不同曲率的空间。欧式几何是曲率恒等于零，也就是我们通常概念意义下的平面；罗氏几何曲率为负常数，一个典型的例子就是马鞍面，黎曼几何曲率为正常数，一个典型的例子就是球面。因此三种几何应用于不同的情况，在我们的日常生活中，欧氏几何学是适用的；在宇宙空间中（或在原子核世界中）罗氏几何更符合于客观实际，并且在医学上已有独特的应用；黎曼几何在地球表面研究航海、航空等实际问题中有广泛的应用，因为地球实际上是个椭球。
03 非欧几何的历史意义
非欧几何带给人们的心灵震撼是空前的，引发了人们对数学本质的深入探讨，从根本上改变了人们的观念，并影响着现代自然科学和哲学的发展。
首先是它扩大了几何学研究的对象，使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象空间，即更一般的空间形式，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。可以说，非欧几何的产生是数学以直观为基础的时代进入以理性为基础的时代的重要标志。想想看，那些具有和几何空间相似性的问题都可以用几何的方式加以解决了，这是多么重要的一个发展。
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其次，非欧几何的创立，促进了数学分支的发展：数的概念、分析基础、数学基础、数理逻辑等，公理化方法也获得进一步的完善，使之成为现代数学的重要方法之一。需要指出的是：就数学本身而言，数学中的每一个概念最后还是要联系到客观的物质世界，从认识的发展上看，公理方法是数学中做总结的一个标准方法，这样的总结使得数学概念及其之间的联系变得非常明确，而成为严格论证的根据。但是，这样的总结，只总结了概念和命题的逻辑关系，而完全没有考虑到这些概念的来源、产生和发展。因此，不能把一个公理系统完全孤立起来看，否则，是不容易看懂的。
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非欧几何不是局限于观念中的几何，而是实实在在的物质世界的几何，是对客观世界的更精确的描述。欧氏几何不是客观世界的唯一真理，而是非欧几何的特殊情况。这在人类对时间和空间的物理观念的认识上产生了重大影响，爱因斯坦的广义相对论是这个的最好的论证。宇宙结构的几何学更接近于非欧几何。我们现在可以看到，世界上并非只有一种“自然”的几何，而是存在着形形色色的几何，它们有着不同的曲率，从平面几何（欧氏几何）到球面几何（蚂蚁几何），再到双曲线几何（鲸鱼几何）。但还没有结束，这些只不过是具有不变曲率的几何，后来者还发现了曲率随着时空维度改变的几何，它可以是二维、三维、四维、五维甚至更高维度的几何，各处还可能有不同的曲率。所有这些，对物理学的发展有很大推动作用。
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最后，非欧几何使数学哲学研究进入了一个崭新的时期。给康德唯心主义哲学以有力一击，使数学从传统的形而上学的束缚下解放出来。随着非欧几何的出现，人们意识到在我们的思想中可以存在不止一种空间。因此，几何学公设并不是一种“先验综合判断”（康德），它们甚至不是必然成立的不证自明的真理（笛卡尔和拉格朗日认为）。像庞加莱所说的，几何学公理，是一种约定俗成的惯例。我们应该如何确定要使用哪些约定——欧几里得的约定，还是新的一种非欧几里得的约定？我们的选择可能取决于经验，但是，只要我们避免自相矛盾，就可以随便选。“我们对这个问题——欧氏几何是正确的吗？——有什么看法？这个问题没有意义。一个几何不能比另一个更加真实，它只会更加方便。”这是观点的革命性转变：数学不再完全是客观世界的直接反映，而是一种客观世界的模型，我们选择用哪种模型，是因为它能最好地满足我们的需要。