面积计算（六）

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我们来看一些需要加辅助线的例子。

其实平面几何中最困难的地方就在于加辅助线。关于加辅助线有灵魂三问：

1.这道题目要不要加辅助线？

2.我要加在哪里？

3.这样加对不对？

其实这些最早的训练都源于求小学题目中的求面积。当然不是说具体加的方法一脉相承，而是思考的方法是如出一辙的。

当然，既然已经说了是要加辅助线的，其实题目难度已经被大大降低了，只需要考虑后两个问题即可。

例1      如图所示，矩形ABCD中阴影部分的面积是23，求四边形EFGH的面积是多少？

辅助线加在哪里？

一般而言，小学里的加辅助线就这么几种：一是连已有的点，把大的图形分割成若干小块，或者做等积变换；二是作高；三是作平行线，归根到底都是做等积变换。

在这个题目中，怎么加辅助线比较合适呢？

EFGH是个不规则的四边形，你要作高或者作平行线看起来都很难做一些等积变换，能求出来的唯一办法就是分割成若干个小三角形来做——因为往其他特殊四边形上靠看起来很不靠谱啊！

问题来了，怎么分？最直观的就是连接EG或者HF，这样都可以把四边形分解成两个小三角形。

如果连接了EG，那么这时候我们很自然要找分割完的小三角形和阴影部分之间的联系，请瞪大你的双眼，我们会发现：什么联系都没有。

正常的很，谁规定的你加辅助线就要一加就准的？

由于无法找到加完之后和阴影部分的联系，因此这种方法很可能是错的。于是我们要尝试转弯，连接HF试试。

很容易看出，这就出来两组我们之前讲过的眼镜：夹在一组平行线之间的两个对顶着的三角形。所以EFGH的面积就等于阴影部分面积之和，得到面积为23.

是不是很简单？

例2   如图所示，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=45°，AB=1.8，BC=5，求四边形面积。

按照之前的思路，我们很容易想到连接AC或者BD，而且这也是四边形中加辅助线常用的办法——连对角线。

如果我们连AC，可以很容易求出△ABC的面积，但是△ADC的面积怎么办？我们甚至找不到一条已知的边！所以这条路肯定不对。

那么连接BD呢？我们发现△ABD和△BCD各知道一条边，但是都缺一条高，有没有可能把高求出来呢？

对小学生来说，求高的办法就是：面积乘以2除以底。。。

所以你要有鸡的前提是先要有蛋，两条路都是行不通的。所以接下来的问题就是：该如何转弯？

我们发现，在上面的分析过程中就没有用到∠C=45°这个条件！

所以更加确定了以上两种辅助线的办法是错的。那对的在哪里？我们注意到，∠B=90°，而∠C=45°，所以很容易（假装很容易吧）联想到这其实是一个等腰直角三角形被砍掉一部分以后留下的图形！

所以我们延长BA和CD，交于E，则△EBC就是等腰直角三角形。面积就等于25/2.所以接下来就是计算△EAD的面积了。

由于∠ADC是直角，可以知道∠EDA也是直角，而∠E=45°，于是△EAD也是等腰直角三角形。EA的长度等于3.2，所以△EAD的面积为3.2×3.2/4=2.56.我们得到四边形ABCD的面积为：25/2-2.56=9.94.

稍微难一点的几何题必然是要加辅助线的，作为初学者，加辅助线之前先问自己这灵魂三问，还是有很有用的。

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