浓度问题（二）

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上次讲到了稀释的问题，我们是通过列方程来解的。这次我们来看看，如何不列方程能快速计算所加的溶液的分量。

我们假设溶液A的浓度为a%，加入了浓度为b%的溶液B后，新的溶液浓度变成了c%，问：溶液A和B的质量比是多少？（此处a>c>b）

在没有找到简便方法前，我们仍然列方程——毕竟此时没有更好的办法。

设溶液A和溶液B的质量比为x，则 (x×a%+b%)/(x+1)=c%，解得x=(c-b)/(a-c).

没错，这就是简便解法！

a            c-b

c

b            a-c

借助方程的角度，我们得到了关于溶液配比的简便算法。

昨天的文章中，加水稀释可怎么办好捏？

水的浓度就是0啊！所以一样可以使用这个方法。

40           30

30

0                               10

所以三份40%的酒精配上一份水，就能得到浓度为30%的的酒精溶液了。而水的质量是5千克，那么40%的酒精的质量就是15千克了。然后又加入纯酒精，浓度变成了50%，此时：

30        50

50

100       20

所以质量比为5:2，此时有30%的溶液20千克，马上可得纯酒精的质量为8千克。

虽然从根源上说，这个方法脱胎于方程， 但是在计算上确实带来了很大的便利性。

我们来看一个具体的应用：

甲乙丙三瓶糖水，浓度依次为63%,42%,28%,其中甲瓶有11千克，先将甲乙两瓶糖水混合，浓度变为49%，然后把丙中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为35%的糖水，问丙瓶中原来有多少糖水？

我们利用上述方法：

63        7

49

42        14

所以甲乙的质量比为1:2.当丙倒入后，可以得到：

49        7

35

28        14

所以混合溶液比上丙也是1:2.

因为甲瓶质量是11千克，所以乙瓶是22千克，甲乙质量之和为33千克，丙瓶的质量是混合溶液两倍，则丙瓶质量为66千克。

我们继续增加难度。

有一杯盐水，如果加入200克水，那么浓度变为原来一半，加入25克盐，那么浓度变为原来两倍，问：盐水原来浓度多少？

如果用方程来做，根据缺什么设什么的原则，我们可以设原来浓度为x, 很显然，此处溶液的质量和解题也有关系——你就想原来的溶液如果只有1克或者1吨，那么浓度变化的情况会是如何？所以还要设原来溶液质量为y，这样原来溶液所有的成分的质量都定了。

根据加200克水的条件，我们得到新溶液浓度为

xy/(y+200) =x/2

根据加25克盐的条件，我们得到新溶液浓度为

(xy+25)/(y+25)=2x

通过第一个方程解得y=200克，再把这个结论代入到第二个方程，解得x=10%.

不过对于小学生来说，形式运算总是面目可憎的。特别是有两个字母在一起，总是心有余悸。我们来看看用十字交叉法来做如何。

当然，这里也是要设原来的浓度为x%，

x         x/2

x/2

0         x/2

也就是说，原来溶液和水的质量为1:1，即原溶液有200克。

x         100-2x    200

2x

100         x        25

即：(100-2x)/x =8，得到x=10.

从形式上来说，孩子也会更容易接受这样的方程。

从某种意义上来说，孩子在小学阶段灌输尽量用不用未知数的办法，一来是孩子身心发展规律，还没有做好接受形式运算的准备；二来是锻炼孩子的逆向思维。所以不要总觉得小学方法是奇技淫巧，单纯为了难为学生而设置的各种障碍，这种锻炼还是很有必要的。

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