高手过招必备技能——“倍长中线法”

三大辅助线技巧——倍长中线

【方法说明】

遇到一个中点的时候，通常会延长过该中点的线段．倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等．如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）．

【方法归纳】

1．如图，AD为△ABC边BC的中线．延长AD至点E，使得AD＝DE．若连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）；若连接CE，则△ADB≌△EDC（SAS）．

2．如图，点D为△ABC边BC的中点．延长ED至点F，使得DE＝DF，并连接BF，则△EDC≌△FDB（SAS）．

3．如图，AB∥CD，点E为线段AD的中点．延长CE交AB于点F，则△EDC≌△EAF（ASA）．

【典型例题】

1．（09莱芜）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG＝CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．

【思路点拨】

（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG＝EG．

（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG．

（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．

【解题过程】

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，

在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝1/2FD，

同理，在Rt△DEF中，EG＝1/2FD，∴CG＝EG．

（2）（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．

【方法一】

连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，

∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，

∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG（ASA），

∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM是矩形，

在矩形AENM中，AM＝EN，

在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，

∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．

【方法二】

延长CG至M，使MG＝CG，连接MF，ME，EC，

在△DCG与△FMG中，∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，

∴△DCG≌△FMG．∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．

在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，

∴△MFE≌△CBE，∴∠MEF＝∠CEB．

∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°，

∴△MEC为直角三角形．∵MG＝CG，∴EG＝1/2MC，∴EG＝CG．

（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：

过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．

由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，

又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC，

则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，

∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，

∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG．