初中数学重难点突破之辅助线系列(四 )

一、基本解题思路方法

二、辅助线的应用

为了证（解）题的需要，在原图上所添画的线叫辅助线。在平面几何里的辅助线通常要画成虚线。它的作用是：把题中分散的条件集中起来，把隐含的条件显现出来，以便于为应用公理、定理或等量转化等创造必要的条件。这样辅助线便起了一个牵线搭桥的作用。

1．垂直平分线的辅助线

2．角平分线的辅助线

【典型题1】如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为    .

【思路分析】根据题目已知条件推导即可.注意可将求MN转化为求ME+EN的长度.

【答案解析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC,

∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN.

∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.

【典型题2】

如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.

【思路分析】从结论分析，显然没有直接关系证明AD=AB-BC.，必须进行“等量转化”.必须将AD、AB和BC中的1到2条线段转化成其他线段.因此需要做辅助线来实现.碰见角平分线，我们还可以角平分线上一点作角的一边的平行线.,构造等腰三角形.

【答案解析】

证明：延长AD、BE交于点F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.

∵AE平分

∠BAD∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB, ∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC. 

【规律总结】有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线.,构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.