别再纠结于那个无穷小三角了，维度才是微积分的终极奥义

学习过微积分的同学，看到下面的动图，都不会陌生。

与这张动图相对应的微积分的基本公式，如下：

先放下等式的右侧不题，然后我们把等式左侧展开

曲线三角形被分割成无限个小长方形，无限个长方形的面积之和就等于曲线三角形的面积。初学者学习这一公式，需要先理解无穷小，当取无穷小dx作为无穷小长方形的底边长时，相邻两个无穷小长方形与曲线围合成的小三角形面积为0。

有的同学表示不能接受：再小的三角形也是三角形，咋还给归零了呢，欺负人家的小，是不是？

那么，小三角形的问题怎么解决？如果不能解决小三角形的问题，是不是上面的等式就不能成立了呢？

我们不做老学究，先把它放一边。

话说，前人栽树，后人乘凉。既然微积分在过去几百年间无数次地被验证与应用过，不好理解的，也无需质疑，我们盯着既有成果，换个路径来理解它也是可以的。

那我们试试沿着维度的角度来理解一下什么是微积分。

维度也叫维数，数学上有0维、一维、二维、三维、四维，乃至N维。

0维是点，没有长度，也没有方向，记作P；一维是线，有长度和一个方向，记作L；二维是平面，有长度和两个方向，记作S；三维是立方体，有长度和三个方向，记作V；四维是超立方体，有长度和四个方向，记作D；N维空间，以此类推。

接下来要思考的是，0维是如何演进到一维的。

两点成一线，对于一条直线，无论做怎样的裁剪，都改变不了这一描述。由此，我们可以说，对点进行无穷累加，就成了线；或者说，0维空间的无穷叠加，就演进到了一维空间。如下式：

一维到二维，二维到三维、三维到四维也是同样的道理。

按照这个思路，我们暂时忽略掉无穷小的概念，在0和无穷之间建立起联系，即：

可问题也来了，式子的右侧是有量纲的（米、平米、立方米），但是左侧没有，两边没法划上等号。那我们把无穷小Δ再找回来，因为无穷小Δ无限接近于0，于是：

当然，如果我们认为无限本身可以赋予维度空间以量纲也没什么不对。

把上面的式子结合起来，再写一遍：

我们把一维演进到二维的式子，单独拿出来研究。左右两侧对调，并简化一下，得：

式中的L，其实有两重含义，一是某条直线的长度，二是某个函数的数值。

根据第一重含义，我得以写出上面的等式；根据第二重含义，我们才能推导出微积分的基本公式。设L=f(x)，代上式，得：

当x∈[a，b]时，则：

这时候，引入一个概念：导数。

当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。

得：

依次类推，并代入上式得：

上式简化后，自变量都消掉了，连极限值都不用求了。得：

于是，一个二维面的面积，就转换成了原函数在定义域的两个极点上对应的数值差。

求三维的体积或四维的超立体，也是这样的思路。只是导数只能在线性的一维空间上求得，前面关于二维向三维演进、三维向四维演进的式子必须得改写成这样：

然后，一层层地求多层原函数，无论是体积还是超体积，都能转换成终极原函数在定义域的两个极点上对应的数值差，也就是重积分的原理了。