非欧几何的兴起带来了近代数学的蓬勃发展，数学分支开始互不兼容
非欧几何的兴起
欧氏几何是基于前提五个公理的几何体系，是有前提的。
所谓公理，就是不证自明的条件。无需证明，“事实”存在的条件。这在古代，基于数学的代数、几何的决定性产生基础，这并不是问题。人们也没有想过公理会有问题。
这样一晃就过了2000多年。数学世界出现了对欧氏几何的质疑声，因为有些问题，欧氏几何是解决不了的或者说推理的结果不成立，更甚至是公理出现了问题。
例如球体几何中的平行线，是相交的，经纬组成的三角形内角不是180度（这实际还是古代数学是基于直线还是基于曲线的方法问题，或者说直曲可否一统的问题）；奇怪的莫比乌斯带、克莱因瓶的问题等等。
古代的太极图能够解释莫比乌斯带和克莱因瓶的原理，也可以解读球体几何出现的极端结果虫洞、奇点，这说明什么？说明太极图的数理是兼容欧氏几何与非欧几何的表达的。这里强调是数理兼容，不是数学兼容。笔者在前文中解读过类似的数理问题。
这些非欧几何的问题的出现，导致欧氏几何开始面临解读困境。
非欧几何钻了欧氏几何的什么数学空子？
非欧几何，按产生的时间和顺序，通常是指类似马鞍面、球面的几何体系，这是由于这两种几何体系研究的相对早一些，而实际的非欧几何包含的范围要更宽泛一些，例如超体几何、分形几何、拓扑几何等。
欧氏几何公理中“存在的”的数学严谨性的问题
一、欧氏几何没有类似解析几何一样的明确维度定义。
维度这个概念，是逐渐产生、完善的，并不是欧氏几何的发明。直到解析几何产生，传统的欧氏几何的维度概念才逐渐明确起来。
由于欧氏几何的产生时期，基本是基于二维的基础、基于直线的基础产生的公理定义，那么，如果基于曲线，基于跨维，基于曲面是否会出问题呢？当时并未考虑。柏拉图的立体几何概念，是基于全部欧氏几何基础定义的三维转化，这时候并未出现几何问题。
代数、几何产生的目的原本是要简化、抽象地解读可见的现象，基于古代数理大一统的伟大理想，当然是想解读世界的一切现象了。
但是，当出现莫比乌斯带一样的思考的时候，平面被扭曲，问题也就来了。当一个面脱离了欧氏的二维平面，不仅可以构建柏拉图立方体，同时还可以有其他的几何结构。欧氏几何的解读面临困境了。进一步的，出现了克莱因瓶这个超越三维思考的几何问题。这方面的研究，最终导致了数学非欧几何的马鞍面的思考以及拓扑几何学的产生。
欧氏几何的直线、平面的定义基础，当时并没有与维度概念结合，这让曲面钻了空子。
在数学而言，解决问题的过程，也就促进了数学的发展。解决曲面的精确表达过程，促进了数学的发展。
我们依然可以用欧氏的方法近似、逼近解决曲面的表达。但是，如果要精确解读，曲面几何成为基于直线的欧氏几何的难言之隐。
曲面也是面，但不是欧氏几何的平面。曲面跨越了欧氏二维平面的基础，而欧氏几何并未对维度进行限制、关联定义，并未对面进行线性的约束，也就有了平面与曲面之分。
二、直与曲的历史问题引发的球面几何的产生
当人们开始知道地球是个球的时候，北京到罗马的直线距离这个概念就变得不准确起来。我们到底要解读两点的直线距离还是要解读两点的弧线距离呢？球体几何的概念雏形由此慢慢产生。
这是对线的定义引发的针对欧氏几何的问题。线到底是什么样的？直的？还是曲的？欧氏几何定义是直的，那么无法精确解决这个曲的问题，这样球体几何就产生了，改变定义，将直线的定义改为球面弧线。由此产生了一系列的与欧氏几何不同的几何性质，就是球面几何体系。
直与曲的兼容，从祖冲之切割圆计算圆周率的时候就已经发现这个问题，直与曲不能数学绝对性的一统。但是证明这个结论是在2000年后，证明出圆周率是超越数才算解决这个数学证明问题。这不仅导致了中国古代的数理同时存在基于直、方的周易、八卦系统，以及基于圆、曲、波的太极系统。也最终导致了数学的球体几何的产生，实际还导致了产生另外一个数学系统，就是现在经常使用的波的系统。
波是圆吗？不是，但通过解析几何的转换，波与圆可以互换表达。但在维度扩展上，圆到了四维就“变形”了，几何形状不唯一了，而波具有良好的维度超越性，这也是近代数学、物理用波代替圆的数学原因。也正因为如此，波能够继承古代对圆的性质的一些描述。
相对论的四维时空是基于球面几何体系的扩展，并未再改变球面几何的定义基础，但也是非欧几何；而几何的四维超体是基于欧氏几何的扩展，与柏拉图的立体几何不同在于，它也改变了欧氏几何的基本定义，将直线定义为线段，所以，超体几何也是非欧几何。
一些人总是试图一统欧氏几何与超体几何，这是数学错误的，统一不起来。基本的定义基础并不同。
线段代替直线（超体几何）；曲线代替直线（球面几何），这直接冲击欧氏几何的第一、第二公理的推论。公理一： 任何点都可以和其他的任何点连成直线；公理二： 任一条直线都可以从两头无限地延长。（上述两个公理加起来就是“能通过两点的只有一条”）
在球体几何中，通过两点可以有任意多条弧线，弧线与圆体的大小有关。而球体几何的这种弧线，在古代，人们一度认为它就是直线或者用直线的方式表达，线段的方式计算。同样是三维的柏拉图立体几何与球体几何，直与曲的基础定义并不相同。
在超体几何中，欧氏公理二不再成立。
三、基于这种基本定义的改变，球面几何直接否定了欧氏几何的第五定理，釜底抽薪
欧氏几何的第五公理： 两条直线和一条直线相交时，如果同一边的内角和比两个直角小，那么两条直线在那一边继续延长时，一定会相交。
这个公理也被写作：假设有一条直线和直线外的某一点，通过这一点与此直线平行的线只有一条。
非欧几何的思考，导致了什么样的数学结果？平面变成曲面，曲面跳出欧氏的维度禁锢。 马鞍面、球面（椭球面），与欧氏几何的面的概念是完全不同的。
在欧氏几何中，一条直线，是唯一确定的一个结果，在二维平面是这样的；而马鞍面，在二维平面投影是双曲线的结果；球面的投影是圆的结果。（基于这种投影思路的扩展，实际还有一种螺旋式的非欧几何体系有待研究－－双臂螺旋体系，酷似银河系的样子。这个笔者曾经试图完善，有机会再发上来。）
这实际又回到了数学的老问题，直曲一统上。线应该如何定义？基于直还是基于曲，基于什么样的曲。
欧氏几何是基于直线的体系，而这两种非欧几何是基于特殊曲线的体系。超体几何是基于线段的基础，而非基于欧氏直线的基础。
基于这样的球面几何基础，所谓的”平行线“，实际是不平行曲线，是相交的；通过一点的所谓平行线是无数条。所谓的三角，实际是曲线组成的三角，内角不再是180度。
数学公理的改变
近代以上的数学发展，揭示了一个重大的事实：“公理不是自明之理，而只是个假设！”公理不是绝对的！公理只是数学家订出来的！这不是民科的言论，而是一位数学家的思考。罗巴切夫斯基的这种认识开辟了现代数学发展的新思路。
如今，非欧几何已经不再是以往的两种：马鞍面、球体几何。近代数学的发展，甚至可以说是非欧几何的大发展。
即然公理是数学家订的，就是可以改的。那么基于不同的定义，也就产生了不同的几何体系，例如超体几何、分形数学等等。
超体几何改变的是什么定义呢？欧氏几何的公理二、用线段表达直线。两点之间不再延长。
分形几何改变的是什么定义呢？欧氏几何的公理一、任何点都可以和其他的任何点连成直线。为何一定要连接成直线呢？搞成折线、曲线就是分形几何了。
因此，非欧几何与欧氏几何的兼容，实际是数学的伪命题。
归根结底就是古代数理中直与曲的兼容问题。一些介绍非欧几何、或者基于非欧几何的物理体系的所谓科普的人文性文章中，总是试图兼容表达非欧几何与欧氏几何，实际是数理表达，而非数学性的表达。玩的依然是不能数学成立的数理大一统的老故事。
换一个角度，也可以这么理解，欧氏几何实际就是最基本的、最简化的几何体系。非欧体系变得复杂了一些。公理改变，也就意味着数学限制性的条件的改变。
非欧几何使维度定义开始“模糊”
非欧几何的蓬勃兴起导致什么后果呢？维度定义实际已经在被改变。
超体几何基于正方体的超正方体，三维就是正方体，是一个限制性的独特的概念；而欧氏几何，三维是一个“空”的、总的概念，有长宽高的所有几何体系都是三维的。待分形数学产生，又产生了分形分数维概念，它又改变了维度的定义，基于超体一样的维度限制性基础，它细节描述了维度区间内几何体系的复杂度。
热热闹闹的改定义，改基本公理，造就了现代数学的高速发展。但也为现代数学埋下了一颗非数学的定时炸弹。这是一个什么样的炸弹呢？
下文待续。。。。。。