第12讲 典型例题与练习参考解答：导数的基本运算法则与高阶导数
本文对应推文内容为：
第12讲：导数的基本运算法则与高阶导数
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：用反函数求导法则求下列函数的导数.
(1) ；
(2) ；
(3) .
练习2：求下列函数的导数.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) .
练习3：求下列函数的导数.
(1) ；
(2) ；
(3) .
练习4：求下列函数的n阶导数.
(1) ；
(2) ；
(3) .
练习5：求下列函数指定阶的导数.
(2) ，求；
(3) ，求；
(4) ，求.
练习6：设，试证：
其中，并求.
练习7：求，其中
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：用反函数求导法则求下列函数的导数.
(1) ；
(2) ；
(3) .
【参考解答】：(1) 【思路一】 函数的反函数为 ，故由反函数求导公式，得
即
【思路二】 改写函数表达式为，则由复合函数求导法则，得
【思路三】 由导数的定义，求极限得
即.
(3) 函数的反函数为
故由反函数求导公式，得
即.
练习2：求下列函数的导数.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) .
【参考解答】：(1) 令 ，则, . 直接由复合函数求导公式，得
(2) 由 ，令，则, . 直接由复合函数求导公式，得
(3) 令, , ，则
直接由复合函数求导公式，得
回代, , , 得最终的导数结果为
(4) 令, ，则
直接由复合函数求导公式，得
(5) 令, ，则，直接由复合函数求导公式，得
【注】：注意右侧三个的意义不同，它们从左到右依次表示关于 ，即整个表达式求导；关于 ，即整个表达式求导和关于变量求导.
(6) 由于，令，则直接由复合函数求导公式，得
【注】：该结论可以直接当公式使用，适用于幂指函数结构的函数导数计算. 如
等导数的计算. 其结果可以视为先将函数视为指数复合函数求导（即底数视为常数），再将其视为幂函数复合函数求导得到（即指数视为常数）.
(7) 基于(5)的解题思路，函数可以改写为
利用对数函数的性质，有
由，且
代入得
练习3：求下列函数的导数.
(1) ；
(2) ；
(3) .
【参考解答】：对于包含有四则运算和复合结构的函数的导数，先四则运算，再复合运算，能够化简的先化简表达式.
(1) 由分母有理化，分母乘以分子，得
(2) 由求导的加法法则，得
其中三个函数的导数分别为
将以上结果代入，得
(3) 先由乘法法则，得
再由复合函数求导法则，得
代入得
练习4：求下列函数的 阶导数.
(1) ；
(2) ；
(3) .
【参考解答】：(1) 依次求各阶导数递推，得
以此递推可得
【注】：由以上结论可得
当为任意常数，也可以推得如下结论
进而可以推导得到
(2) 依次求各阶导数递推，得
以此类推可得
【注】：由此也可以直接推得
(3) 依次求各阶导数递推，得
以此类推可得
【注】：其中是函数对求导，它与不同，应用过程中注意符号的差别！
练习5：求下列函数指定阶的导数.
(1) (二阶可导)，求；
(2) ，求；
(3) ，求；
(4) ，求.
【参考解答】：(1) 直接应用乘法法则和复合函数求导法则，逐阶求导，得
继续应用加法、乘法和复合函数求导法则，得
【注】：对于抽象函数求导数，如果所有各阶导数的复合结构里面表达式一致，则最终结果一般可以直接函数符号，不带复合结构. 比如以上最终结果中的各阶导数描述，分别表示
从而达到简化最终描述的目的.
(2) 令, ，则
故由莱布尼兹公式，得
(3) 【思路一】 逐阶求导递推，有
归纳可得
【思路二】 由莱布尼兹公式和之前的结果
直接代入公式，得
(4) 改写函数表达式，分解部分分式，得
故由上面所得的公式
基于求导的加法法则，得
后两项的一般求导公式为
故当时，由
【注】：关于有理式的部分分式分解可以参见推文：知识点解析：有理函数的部分分式分解的基本概念与方法
练习6：设，试证：
其中，并求.
【参考解答】：由于，改写得
于是由莱布尼兹公式，两端求阶导数，得
对于前面一项，有
展开求和式，得
即所需验证的等式成立. 令，得
容易计算得到, ，且
因此，由(*)可以推得
其中.
练习7：求，其中
【参考解答】：【思路一】 利用求导法则，将函数拆分为两部分
其中，则
代入，得
【思路二】利用导数的定义，得
练习8：求 ， 其中
【参考解答】：改写函数表达式，得
则由莱布尼兹公式，可知
其中的每一项都包含有 因式，故代入，得. 故得
练习9：设，求使得存在的最高阶数的值.
【参考解答】：将函数写成分段函数表达式，得
于是有左右导数的定义，得
所以一阶导函数为
对 应用以上步骤，得
又在定义区间内
所以二阶导函数为
从而再次由左右导数的定义，得
故不存在，即使得存在的最高阶数的值为 .
相关推荐
高等数学课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题！课件PDF文档请到QQ群文件分享下载！
● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项
● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项