多种方法变形求解：初中数学压轴题型几何动点专题——直角三角形
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知识点剖析
关于动点直角三角形问题，首先我们需要讨论三角形中哪个角是最有可能构成直角，然后根据题型，运用不同的方法．如下为总结的四种方法：
1、第一类用一线三直角构造相似求解，分别用未知数的式子表示出一线三直角模型的边长；
2、用边角边，即两边对应成比例夹角相等，一般是动点构成的直角三角形与已知的直角三角形相似，需要求出已知直角三角形的边长，以及用未知数的式子求出动点直角三角形的边长，通过对应边成比例建立等式；
3、利用三角比来求解，实际上这个和上面一种情况类似，但是动点构成的直角三角形中，某个锐角的三角比已知，这样，直接在动点三角形中运用三角比直接可以建立等式；
4、把动点直角三角形三边的长度用未知数的式子，或者直接是数字表示出来，用勾股定理建立等式，求解出未知数，简称“强推”
直角三角形问题
01
原理讲解
如图：直角三角形ABC，AB=8，BC=6，AC=10.D在AC从A往C运动，每秒2个单位，E在BC从B往C运动，每秒1个单位。当时间为何值时，△CDE为直角三角形.
1.表示线段
2.分类考论，两边成比例
3.A与斜A相似求出直角
3.解方程
02
典型例题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，CD是△ABC的中线，动点P从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时，动点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度向终点B运动，过点P作PE∥AB，连结EQ，设点P运动的时间为t（s）（t＞0）
（1）当四边形APEQ是菱形时，求t的值；
（2）当以点P、E、Q为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值；
（3）设四边形APEQ与△BCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式；
（4）设点A关于直线PQ的对称点为A′，点A′落在△ABC的外部时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）首先证明四边形APEQ是平行四边形，根据AP＝AQ列出方程即可解决问题．
（2）分两种情形讨论，列出方程即可解决问题．
（3）分两种情形①如图3中，当0＜t≤1时，重叠部分是△EMN，易知△EMN是等边三角形．②如图4中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形DMEQ．作PH⊥BA于H．分别求解即可．
（4）求出图5、图6中两个特殊位置的t的值，即可判断．
【解答】
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，BC＝2√3，
∵PE∥AB，
∴∠PEC＝∠B＝30°，
∴PE＝2t，EC＝√3t，
由题意PC＝t，AQ＝2t，
∴AQ＝PE，∵AQ＝PE，
∴四边形APEQ是平行四边形，
当AP＝AQ时，四边形APEQ是菱形，则2﹣t＝2t，
∴t＝2/3，
∴t＝2/3时，四边形APEQ是菱形．
（2）如图1中，当∠QPE＝90°，在Rt△APQ中，易知AP＝2AQ，即2﹣t＝4t，解得t＝2/5．
如图2中，当∠PQE＝90°，易知四边形PQEC是矩形，可得AQ＝2AP，即2t＝2（2﹣t），解得t＝1．
当∠PEQ＝90°时，易知cos∠B＝√3/2，
∴（4-2t)/(2√3-√3t)，解得t＝2，是增根，
∴此种情形不存在．
综上所述，t＝s或1s时，△PQE是直角三角形．
（3）①如图3中，当0＜t≤1时，重叠部分是△EMN，易知△EMN是等边三角形，
∵AD＝DB，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠PCN＝∠CPN＝60°，∠DCB＝∠B＝∠NEC＝30°，
∴PN＝EN＝t，
∴S＝√3/4·t²
②如图4中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形DMEQ．作PH⊥BA于H
易知QD＝2t﹣2，ME＝t，PH＝√3/2（2﹣t），
∴S=1/2·(DQ+EM)·PH＝1/2·（2t﹣2+t）·√3/2(2﹣t)＝
（4）①如图5中，当点A的对称点A′在线段AB上时，易知AP＝2AQ，2﹣t＝4t，解得t＝2/5．
②如图6中，当点A的对称点A′与点E重合时，易知AP＝AQ，2﹣t＝2t，解得t＝2/3，
观察图象可知，当0＜t＜或＜t＜2时，点A′落在△ABC的外部．
【点评】本题考查四边形综合题、菱形的判定和性质、直角三角形的性质、多边形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
03
同类练习
1．（2017春·新城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，OA、AB的长分别是方程x²﹣9x+18＝0的两根，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）当t为何值时△APQ为直角三角形，此时点Q的坐标为？
（3）（实验班做）当t＝2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）先解一元二次方程x²﹣9x+18＝0，可得x1＝3，x2＝6，即可得到AO＝3√3，AB＝6，再由勾股定理可得，BO＝3，即可得到A（0，3），B（3√3，0）．
（2）分两种情况讨论：①若∠APQ＝90°，则△APQ∽△AOB；若∠AQP＝90°，则△AQP∽△AOB，分别依据相似三角形的对应边成比例，即可得到BQ的长，进而得到点Q的坐标；
（3）当t＝2时，AP＝2，BQ＝4，AQ＝2，分三种情况讨论：四边形APQM1为平行四边形；四边形APM2Q为平行四边形；四边形AM3PQ为平行四边形，分别依据点M的位置得到M点的坐标．
【解答】
解：（1）∵x²﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝6，
∴x1＝3，x2＝6，
∴AO＝3，AB＝6，
∴由勾股定理可得，BO＝3√3，
∴A（0，3），B（3√3，0）．
（2）由题可得，AP＝t，BQ＝2t，
①若∠APQ＝90°，则△APQ∽△AOB，
由AP/AO=AQ/AB可得，t/3=（6-2t)/6，
解得t＝3/2，
此时，BQ＝3，
∵∠ABO＝30°，
∴点Q的纵坐标为3×1/2＝3/2，
横坐标为3√3-3/2√3＝3/2√3，
即Q（3/2√3，3/2）；
②若∠AQP＝90°，则△AQP∽△AOB，
由AP/AO=AP/AB，可得，(6-2t)/3=t/6
解得t＝12/5，
此时，BQ＝24/5，
∵∠ABO＝30°，
∴点Q的纵坐标为×＝24/5×1/2=12/5，
横坐标为3√3-12/5√3＝3/5√3，
即Q（3/5√3，12/5）；
（3）存在．
当t＝2时，AP＝2，BQ＝4，AQ＝2，
∴AP＝AQ，
又∵∠BAO＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
①如图，当四边形APQM1为平行四边形时，AM1＝PQ＝2，
∴点M1到y轴的距离为AM1×tan60°＝√3，点M1到x轴的距离为AM1×cos60°+AO＝1+3＝4，
∴M1（√3，4）；
②如图，当四边形APM2Q为平行四边形时，PM2＝AQ＝2，
∴点M2到y轴的距离为PM2×tan60°＝√3，点M2到x轴的距离为PO﹣PM2×cos60°＝1﹣1＝0，
∴M2（√3，0）；
③如图，当四边形AM3PQ为平行四边形时，PM3＝AQ＝2，
∴点M3到y轴的距离为PM3×tan60°＝，点M3到x轴的距离为PM3×cos60°+PO＝1+1＝2，
∴M3（﹣√3，2）．
【点评】
本题属于四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质的综合运用，在解答（2）（3）题时要注意分情况进行讨论，不要漏解．
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