中考数学压轴题分析：手拉手模型与截长补短

本文内容选自2021年武汉中考数学几何压轴题。题目涉及共顶点的两个相似三角形，求线段的数量关系，涉及全等与相似。难度不大。

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【中考真题】

（2021·武汉）问题提出
如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在和中，，，是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．

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【分析】

问题探究

（1）如图（2），通过全等可以进行线段的转化，易得BF=BE+EF，而AF=BE，DE=√2CF，因此代入即可。

（2）如图（1），此时不重合，但是仍然可以转化。仍然有BE=BE+EF，但是AF与BE不相等，因此需要适当构造才行，可以考虑在BF上面截取线段BG=AF，进而得到与上面小题一样的结论。

问题拓展

（3）此时条件中没有全等三角形，但是可以得到相似比为k的相似三角形，可以参考上题的解法构造辅助线，在BF上面截取BG=kAF即可。再利用勾股定理得到GF与CF的关系，代入求解即可。

【答案】解：（1）如图（2），，，
，
，，
，
，，
而点、重合，故，
而为等腰直角三角形，
故，
则；
即；

（2）如图（1），由（1）知，，

，，
过点作交于点，
，，
，
，，
，
，，
故为等腰直角三角形，则，
则，
即；

（3）由（2）知，，
而，，
即，
，
，
过点作交于点，

由（2）知，，
，
，
则，，
在中，，
则，
即．