数坛双璧——柯瓦列夫斯卡娅和埃米·诺特（下）
著名女数学家
数坛双璧——柯瓦列夫斯卡娅和埃米·诺特（下）
文章作者
赵振江，河南汝州人，1995 年毕业于中国科学院系统科学研究所。现任中国科学院自然科学史研究所副研究员。
在整个数学史上，女数学家非常罕见，尤其是在 20 世纪之前。其中原因，正如高斯（C. F. Gauss）在 1807 年 4 月 30 日写给索菲·热尔曼（Sophie Germain）的信中所说：“一个女性，由于我们的习惯和偏见，会遇到比男性多得多的困难，为了钻研这些[科学]难题，克服外围的障碍并深入到它们最幽微的部分，毫无疑问，她要有无畏的勇气、非凡的才能和过人的天赋。”19 世纪和 20 世纪分别见证了两个杰出的女数学家，她们的贡献在男性称霸的数学世界占了一席之地，赢得了人们的尊敬，她们就是柯瓦列夫斯卡娅和埃米·诺特。
柯瓦列夫斯卡娅和埃米·诺特堪称数坛双璧，一方面，她们有不少类似之处：家庭条件比较优越，有良好的智力和克服困难的勇气，在数学上都取得了令人瞩目的成就，又都是在创造力处于巅峰时突然去世。另一方面，她们也有很大差异：生活在不同的文化环境中，柯瓦列夫斯卡娅有激进的政治思想，诺特深受宗教影响。前者貌美，一生有多人相助，爱好很多，生前就声名显赫；后者相貌平平，虽然才华横溢，但求职、晋升都很困难，一生专注数学，心无旁骛，至死也没有得到应有的承认。
READING
埃米·诺特（1882—1935）
埃尔朗根岁月，1882—1915
阿玛丽·埃米·诺特（Amalie Emmy Noether）1882 年 3 月 23 日生于德国埃尔朗根市的一个犹太人家庭，父亲马克斯·诺特（Max Noether，1844—1921）是埃尔朗根大学的数学教授，母亲的娘家是科隆地区的一个犹太富商。诺特是家中的长女，下面有三个弟弟，其中的一个弟弟弗里茨后来也成了数学家。
出生于这样的家庭，再加上犹太文化重视学识，诺特从小受到了良好的教育。她 7 岁进入女子学校上学，同学都是富有的医生、律师、商人和学者的女儿。当时的社会并不期望女孩成为学者，但作为有教养的淑女，她们需要学习读、写、算，要会说法语和英语，会弹钢琴，会料理家务。1887 年，诺特从这所女子学校毕业，但没有毕业证书（这类学校不发毕业证）。接下来的三年，她父母聘请老师辅导她的法语和英语。1900 年，诺特通过了巴伐利亚州的考试，有了担任英语和法语教师的资格。最初，她计划到初级学校教法语和英语，但由于教外语比较单调，她改变了主意，希望拿到大学预科（Gymnasium）的毕业证书。由于父亲的支持，诺特从 1900 年到 1902 年在埃尔朗根大学旁听。1903 年 7 月，她通过了考试，得到了毕业证书。
当时德国的数学中心在格丁根大学，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅从这里获得博士学位的故事使诺特耳熟能详，她希望到格丁根学习数学。虽然在埃尔朗根大学有许多方便，但毕竟格丁根才是大师云集的地方。经过努力，1903—1904 年冬季学期，诺特在格丁根大学注册学习，旁听数学教授希尔伯特（D.Hilbert）、克莱因（F. Klein）、闵科夫斯基（H. Minkowski）和布卢门撒尔（O.Blumenthal）的课。由于患病，诺特回到家中。当身体略有恢复，她就开始自学。在诺特恢复健康的过程中，埃尔朗根大学允许女生作为正式生注册，她权衡之后，决定留在埃尔朗根学习。
1904 年 10 月，诺特在埃尔朗根大学注册。指导诺特的是她父亲和号称“不变量之王”的戈丹（P.Gordan）教授。戈丹成了诺特的博士生导师，诺特是他唯一的博士生。经过3年多的学习，1907 年 12 月，诺特关于代数不变量的论文《三元双二次型不变量的完全系》以优秀成绩通过论文答辩，并于次年获得埃尔朗根大学颁发的哲学博士学位。
诺特的博士论文研究的是代数不变量问题，这个问题最早来自数论。称n个变量 x1, x2,···,xn 的 m 次齐次多项式 J(x1, x2,···,xn) 为 n 元 m 次代数型。设线性变换T将变量 x1, x2,···,xn 变为 X1,X2,···, Xn，此时多项式 J(x1, x2,···,xn) 变为 J*(X1,X2,···, Xn)，J的系数 a0, a1,···,aq 变为J*的系数 A0, A1,···,Aq。若对全体线性变换 T 有 J= J*，则称 J 为不变式，称在线性变换下保持不变的J的系数的任何函数I为 J 的不变量。不变量理论中的一个问题是寻求不变量的完备系，亦即代数型的基。戈丹用纯粹形式和构造的方法证明了二元型的有限基的存在性。诺特的博士论文将戈丹的方法扩展到三元双二次型，产生了明确陈述出来的有331个共变形的系统。
1908 年，诺特应邀加入意大利的巴勒莫数学学会和德国数学会，并第一次和父亲一起去罗马参加德国数学会的会议。次年，德国数学会在萨尔茨堡举行会议，诺特提交了论文。
诺特继续研究不变量理论，考虑 n 元型的情况，结果是 1911 年发表的论文《 n 元型的不变量理论》。早在 1888 年，希尔伯特证明 n 元型的基的有限性，但他的方法不是构造性的。1911 年，菲舍尔（E.Fischer）继任戈丹在埃尔朗根大学的教授职位，受菲舍尔的影响，诺特逐渐转向希尔伯特的抽象化方向。
1913 年，诺特参加德国数学会在维也纳举行的会议，她再次提交了论文。会后，她去拜访菲舍尔的博士生导师梅滕斯(F.Mertens)。梅滕斯曾在 1886 年用归纳法证明二元型组的戈丹定理。诺特的转变，表现在 1914 年 5 月完成，次年发表的论文《有理函数域和有理函数系》中。
格丁根岁月，1915—1933
1915 年，在爱因斯坦发表广义相对论之后，希尔伯特和克莱因邀请诺特到格丁根大学，协助考虑他们在研究广义相对论时出现的某些问题。诺特的贡献是诺特定理，该定理对广义相对论和粒子物理学来说是基本的。1918 年，在写给希尔伯特的信中，爱因斯坦对诺特的深入的数学思想大为赞赏。
诺特在格丁根安顿下来之后，希尔伯特和克莱因希望为她争取无薪讲师一职，但遇到很大阻力。在当时的德国，如果一个人想在大学授课，除获得博士学位之外，还需经过授课资格考察这一过程。1908 年的一项法律禁止女性接受授课资格考察。无奈，希尔伯特让诺特在他的名下授课。
第一次世界大战在 1919 年结束，德国对妇女的态度有所改变。1919 年 6 月，诺特接受授课资格考察并成为无薪讲师。最后，格丁根大学在 1922 年给予诺特代数学方面的有薪讲师资格。虽然诺特的声名日益显赫，但她服务的大学对此无动于衷，直到她离开。
尽管诺特在格丁根大学的任职充满艰辛，但她的研究却稳步前进。外尔（H.Weyl）认为，从 1907 年到 1919 年这一时期，诺特相对依赖其他数学家的思想。这个时期的研究为诺特赢得了声誉，但她对数学更重大的贡献是她在 1919 年后作出的。1921 年，诺特在《数学年刊》上发表《环中的理想论》。许多数学家认为，这是她最重要的论文。
代数学中，一个环 R 是具有两个二元运算（加法和乘法）的集合，使得:
1.R 对加法是一个交换群；
2.乘法是结合的：
(xy)z=x(y z)，
而且对于加法有分配律：
x(y+z)=xy+xz，
(y+z)x=yx+zx。
环 R 的理想是满足下列条件的子环 I：如果a ∈ I，r ∈ R，则ar 和 ra 都属于 I 。例如，整数集 ℤ 对通常定义的加法和乘法构成环，所有的偶数（2）是 ℤ 的理想。
在诺特写这篇论文时，具体的环和理想的构造是熟知的，如戴德金（R. Dedekind）和克罗内克（L.Kronecker）关于代数数的工作。她把它们置于更为系统化和公理化的基础上。文中表现出的风格，正如范德瓦尔登（B. L. van der Waerden）所说：
“对于埃米·诺特，只有当数、函数和运算之间的关系从任何特定的对象分离出来，并且化为一般概念的关系，它们才变得清楚，易于推广且多产。”
在这篇已成为经典的论文中，诺特把拉斯克（E. Lasker）关于一个已知的多项式是否属于一个理想的定理推广到满足升链条件的任意的交换环。
1927 年起，诺特集中研究非交换代数及其线性变换在交换域中的应用，用新的抽象方法建立非交换代数理论。我们通常碰到的运算是交换的，如整数的加法和乘法，但矩阵对乘法是不交换的。这个时期她的重要论文有《超复数系及表示论》（1929）和《非交换代数》（1933），都发表在《数学杂志》（Mathematische Zeitschrift）上。
1928—1929 年，应苏联数学家亚历山德罗夫（П. С. Александров）的邀请，诺特到莫斯科大学任访问教授，她的一系列学术活动影响了年轻一代的苏联数学家。
1932 年，诺特在法兰克福教了一学期的课。9 月，第九届国际数学家大会在瑞士苏黎世举行。在会上，诺特作了题为《超复数系及它们与交换代数和数论的关系》的报告，成为第一个在国际数学家大会上做主报告的女数学家。同年，诺特和阿廷（E. Artin）一起获得推进数学科学的阿尔弗雷德·阿克曼·陶贝尔（Alfred Aekermann-Teubner）纪念奖。
诺特对数学的贡献是多方面的。其一，她做出了许多原创性的工作，提出了一些重要概念，如以她的名字命名的诺特环、诺特模等。其二，诺特经常讲课，参加数学会议，她的数学思想通过听她报告的学生在世界上广为传播。范德瓦尔登的举世闻名的《近世代数学》（1931）就是他根据诺特和阿廷讲课的内容写就的。在格丁根期间，诺特先后指导了9名学生的博士论文，这些学生在数学界都不是无名之辈。当时的格丁根大学号称“数学的麦加”，到这里求学的学生来自世界各地。在诺特指导过博士论文的学生中，有来自中国江西的曾炯之（1898—1940），1934 年，他以《函数域上的代数》一文得到格丁根大学的博士学位。
1933 年 1 月，希特勒成为德国总理，标志着纳粹获得了政权。4 月 7 日，帝国法律宣布非雅利安人（德国犹太人和其他不受欢迎的少数民族的人）不能担任公务员。在德国，大学教授被划为公务员。4月13日，格丁根大学数学研究所接到电报，勒令诺特和其他5位在研究所工作的犹太裔教授立即离职。即使她在1920年改信基督教也无济于事，纳粹不是根据宗教信仰而是种族出身攻击犹太人的。
此时，许多受影响的教授接到了来自美国的学术机构的邀请，不少人去了美国。而诺特希望在他的朋友和同事亚历山德罗夫的帮助下在莫斯科获得一个职位，牛津大学的索默维尔学院也尝试用美国洛克菲勒基金会的资助为她安排工作，但都没有成功。最终，位于美国宾夕法尼亚州的布林·莫尔学院为诺特提供了客座数学教授一职。10 月2 日，诺特接受了这一职位并动身赴美。
布林·莫尔和普林斯顿岁月，1933—1935
1933 年 10 月，诺特乘船抵达纽约，一周之后，她出现在布林·莫尔学院美丽的校园里。这是一所女子学院，在 7 月之前，她从未听说过这个学校。12 月，布林·莫尔学院的院长邀请十多位附近大学的数学家来听诺特教授的报告。洛克菲勒基金会还提供经费，让诺特和普林斯顿高等研究院保持联系，每星期她到高等研究院做一次报告。
在布林·莫尔一年之后，诺特在 1934 年夏回到格丁根，她仍幻想在祖国讲课和指导研究。她发现这是不可能的，无奈，她把家具和书籍托运到布林·莫尔。
诺特又回到美国，但没有研究气氛的布林·莫尔学院显然不适合她。不过，诺特没有柯瓦列夫斯卡娅那样幸运，她没有自己的“米塔格·莱夫勒”，虽然有人为诺特的工作奔忙。最后，她得到了在布林·莫尔学院工作两年的经费。
1935 年 4 月 7 日，诺特写信给德国数学家哈塞（H. Hasse, 1898—1979），讨论合作出版的计划。次日，她到布林·莫尔医院做妇科手术。术后四天，她似乎恢复得很好，之后，在没有预兆的情况下，她突然去世。
1935 年 4 月 15 日，星期一，《纽约时报》第 19 版上发表了一则短消息：
埃米·诺特博士。费城，4 月 14 日（美联社）埃米·诺特博士，布林·莫尔学院数学访问教授， 今天在一家医院去世，上星期她在这家医院接受手术。享年 52 岁。诺特博士以前在德国的格丁根大学教数学。她两年前来到美国。
在诺特去世后，1935 年 5 月 4 日，爱因斯坦致信《纽约时报》的编辑，高度评价她的工作：“根据在世的最有竞争力的数学家们的判断，诺特小姐是自女性开始接受高等教育以来出现的最具创造力的数学天才。在最有天赋的数学家们忙碌了数个世纪的代数学领域，如今，她发现的方法的极端重要性已被年轻一代数学家的成长所证明。”
1960 年，埃尔朗根市当局用诺特和她父亲的名字命名该市的一条街道。1982 年，女数学工作者联合会主办的纪念诺特诞辰 100 周年研讨会在布林·莫尔学院举行。同年，埃尔朗根的一所学校被命名为埃米·诺特学校，诺特小时在该校上过学。1983 年，施普林格出版社出版了诺特的论文全集。对此，法国数学家迪厄多内（J.Dieudonné）评论说：“诺特论文全集出版得太迟了，因为，她是迄今为止最优秀的女数学家，而且是 20 世纪最伟大的数学家（男性或女性）之一。”此外，月球上的一个环形山和编号为 7001 的小行星也是用诺特的名字命名的。
参考文献
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完
文章选自：数学与人文·第四辑
本辑主题栏目“数坛巾帼”，通过部分女数学家的评传，以历史实例来引发对“女性与数学”这一社会课题的思考。特别是，本专栏刊登了两位活跃在现代数学前沿的女数学家的访谈录，她们的成长经历一定会引起读者的兴趣。