抛物线4——圆锥曲线讲义之十五
上节讲了与抛物线一条切线有关的几何性质，本节介绍与抛物线焦点弦（过焦点的弦）有关的几个经典而有趣的性质。
注：
(3) 上面对本结论提供了两种证明方法，都比较经典，联立方程是二次曲线的通性通法，前面椭圆中一直在用，上述解法二消去y，简单明了，当然这里也可以消去x，要稍微麻烦一点。解法一的参数方程法是抛物线独有的方便解法，所有的性质都可以这样简单明了的解决，所以本系列主要采用此方法，较少使用联立方程的解法。
当然本题应该还有其他的解法，有兴趣的读者可以自行探究。
17 以AB为直径的圆是否恒与某条直线相切？
结合图像，容易猜测此圆与准线相切。
证法一：
以AB为直径的圆的方程为：
证法二：
由抛物线定义知AA’=AF,BB’=BF,
由梯形中位线定理得
MM’=(AA’+BB’)/2=(AF+BF)/2=AB/2=MC,
故以AB为直径的圆恒与准线相切于M’。
注：上述证法对比显然平面几何方法简单明了。这样本题可以改造为初中考试题。
18 以A’B’为直径的圆是否过定点，并判断此圆与AB的位置关系
容易根据图形发现以A’B’为直径的圆与AB切于点F。
证法一：
故此圆与AB切于点F。
证法二：
由AA’=AF及AA’//FF’得
∠A’FF’=∠AA’F=∠A’FA,
即A’F平分∠AFF’，
对称的B’F平分∠BFF’，
故∠A’FB’=0.5*180°=90°。
即以A’B’为直径的圆恒过定点F。
由M’A’=M’F,AA’=AF知△M’A’A≌△M’FA’(SSS),
故∠M’FA=∠M’A’A=90°，
故此圆与AB切于点F。
注：
进一步，由∠A’FB’=90°利用射影定理即得F’A’*F’B’=F’F^2，
从而本结论和结论16可以互相推演。
19 求以A’B’为直径的圆和以AB为直径的圆的公共弦
由准确的图形可以发现两圆公共弦为y轴。
证法一：
证法二：
由中位线定理知A’F中点D在y轴上且ADM’共线，
由18题知M’A’AF共圆，则
DA’*DF=DA*DM’,
即D对两圆的幂相等，
同理B’F中点G对两圆的幂相等，
故两圆公共弦即根轴为y轴。
解法二：
由18的证明知知M’A’AF共圆,
注：
此结论简洁优美，对于圆锥曲线都有类似的结论，用第二定义或者极坐标能简洁明了的解决此类问题。
21 A’OB, AOB’是否共线？
A’OB, AOB’均共线。
证法一：
故A’OB共线,
对称的，AOB’共线。
证法二：
设AO交准线于B’’,则
B’’O/B’’A=OF’/AA’=OF/AA’=BF/BA,
则BB’’//FF’,
故B’,B’’重合，即
AOB’共线,
对称的，A’OB共线。
解法二：
由18的证明知知M’A’AF共圆,且
∠FM’F’=∠A’AF=θ,∠AM’B=∠M’FA=90°,
由射影定理得M’F^2=FA*FB,则
此为过A的切线的斜率，从而M’A为抛物线的切线，
对称的M’B为抛物线的切线。
解法二：
由前面性质18的证明，
有∠FDA=90°,把上节性质9作为判定，即得M’A为抛物线的切线，
(或者由∠AFM’=90°结合性质10,或者由∠FAM’=∠A’AM’结合性质12，均可得到切线。)
对称的M’B为抛物线的切线。
解法三：
若MA’和抛物线还有另一个公共点C，
设C在准线上投影为C’,则由性质18知A’F⊥FB’,C’F⊥FB’,
则A’和C’重合，即A和C重合，矛盾，
故MA’和抛物线相切，
对称的M’B为抛物线的切线。
注：本题证法非常多，几乎上一节切线的每一个性质都能作为判定。还能证明上节的性质9：ND=0.5AA’=0.5(IA’+AI)=0.5(FO+AI),故以AF为直径的圆切y轴于D。
本节讲解了切点弦的8个经典性质，这些性质基本都是在平时的考试中屡见不鲜的，本文都给出了代数和几何两种证明。可以发现，本节所有性质都可以用简单的纯几何方法得到，包括上节的切线性质9到16。事实上，根据抛物线定义，几乎可以用纯几何方法简洁证明抛物线的所有性质。