数学中两个神奇而深刻的定理

利用严格的数学，很多时候我们可以对一些现象进行合理的解释，但反过来，如果有的时候我们从抽象深刻的数学定理出发可以得出一些或许难以想象的结论。今天我们就来看看两个深刻而神奇的数学定理。

毛球定理

毛球定理是一种非常形象直观的称呼，实际上它是非常深刻的霍普夫-庞加莱(Hopf-Poincare)定理的一个非常简单的特例。毛球定理说的是对于一个表面垂直布满毛发的圆球，无法把所有的毛发抚平。当然，这是非常形象的描述，并不太严格，用严格的数学语言来说，应该是二维欧式球面上不存在处处非零的光滑向量场，也就是说球面上的非零向量场必定有零点，而在这个零点处，“毛发”就无法被捋平，因为被“捋平”就意味着没有零点。

乍看起来，这是一个很难想象的结论，但也是一个很好的例子，充分说明直观的想象在数学中是非常靠不住的。由这个定理，我们可以立即得到很多有意思的结论，例如在地球上，每时每刻必定有某处的水平风速为零，因为宏观上水平风正好可以看作向量场，那么它必定在某一点为零。而且这一定理还可以在一定程度上解释“旋”的存在性，例如台风一定会有一个风眼，人的头发也会有个旋，物理中的场很多时候也会有这样的旋。当然，这样的解释实际上并不是非常严格的，但内在的数学原理确实相通的。

最后我们再从数学本质上来看这个定理。前面已经说过，毛球定理是霍普夫—庞加莱定理的二维特例，而二维的特例正是庞加莱首先在1885年证明的，高维的情形则由霍普夫(1894~1971，德国著名数学家，代数拓扑与微分几何大师)在1925年在布劳威尔和阿达玛工作的基础上完成的。

霍普夫—庞加莱定理说的是微分流形上向量场零点的指标等于这个微分流形的欧拉示性数。

指标可以形象的理解为向量场在一点处的“绕圈数”，绕了几圈指标就是几，但这个“绕数”可能是负数，几种简单的情形可以参见下面的图。

欧拉示性数是我们比较熟悉的数学概念，对于一个多面体，它就是顶点数+面数－棱数，实际上，欧拉示性数可以拓展到一般的拓扑空间上，并且是一个非常重要的拓扑不变量，可以通过很多数学方法得到，例如可以通过对微分流形进行三角剖分得到。

实际上，二维球面的欧拉示性数为2，利用霍普夫-庞加莱定理，我们就知道二维球面上的向量场的指标不等于零，也就是必有零点。而一些欧拉示性数为零的微分流形上就存在处处不为零的向量场，例如圆圈和环面。这样，“毛球定理”就在数学上得到了完美的解释。

霍普夫-庞加莱定理这样深刻的数学定理在数学内外所发挥的作用是很大的，它揭示了拓扑空间深层次的拓扑性质，例如陈省身在证明整体微分几何的奠基性结果高斯-博内特定理中就用到了这个结论，把微分流形的拓扑和几何性质紧密联系在了一起。

布劳威尔不动点定理

“不动点”的概念我们在中学数学里或多或少都有接触，那么这个“不动点”有没有什么直观形象一点点解释？例如搅动一杯水，水静止后，真的有一个点没有变化吗？实际上，利用数学，我们可以肯定的说，这样的“不动点”确实存在，而这得益于强大的“布劳威尔不动点”定理。

布劳威尔不动点定理说的是每一个从一个欧几里得空间的某个给定的凸紧子集(例如球体)到它自身的连续函数都有至少一个不动点。实际上，布劳威尔不动点定理还有更一般的形式，但这里无需再赘述了。一般的情形最早是由法国著名数学家阿达玛证明的，不就之后布劳威尔又给出了更为简洁的证明，但不知为何这个定理最终被冠以布劳威尔的名字。

现在回到具体的例子中，比如开头说的搅动水的例子。搅动水的过程在宏观上可以看作一个连续变化的过程，符合定理的条件，因而必定存在一个不动点，不过需要注意的是，这个不动点在运动过程中可能会随时间变化，但每时每刻必定存在一个不动点。

早期不动点定理在微分方程和泛函分析中得到重要应用，但最近几十年，它却继续扮演了更为重要的角色，例如在博弈论中，也能见到布劳威尔定理的应用。在经济学中，布劳威尔不动点定理以及其推广在证明经济学中全局平衡的存在性中发挥了基础性作用。总的来说，布劳威尔不动点定理成为了证明博弈论均衡存在性和经济学一般均衡存在性的基础。

不可思议的现象背后往往有深刻的数学背景，以上就是两个很好的例子。数学的精神正在于它的严密性，因而可以拨云见日，透过表象揭示本质。这样的数学定理和结论非常多，我们所介绍的不过是冰山一角而已，但也足以感受到数学的美妙与深邃。