中考数学压轴题分析:二次函数含参与隐圆最值问题

本文内容选自2020年天津中考数学压轴题。符合天津地区往年的中考命题规律,都是以含参二次函数为背景。(此类问题渐渐普及)

本文内容涉及与圆有关的最值问题,根据点N与C的距离为定值,可以得到点N的轨迹为圆。进而得到线段的最值。

此类问题关键在于阅读和运算,千万不要看到字母就害怕。

【中考真题】

(2020·天津)已知点是抛物线,,为常数,,与轴的一个交点.
(Ⅰ)当,时,求该抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)若抛物线与轴的另一个交点为,与轴的交点为,过点作直线平行于轴,是直线上的动点,是轴上的动点,.
①当点落在抛物线上(不与点重合),且时,求点的坐标;
②取的中点,当为何值时,的最小值是?
【分析】
题(1)直接代入得到函数解析式,根据顶点坐标公式得到结果。
题(2)①求点F的坐标,需要根据条件建立等量关系进行求解。那么就需要确定点E与点F的位置。
由于抛物线经过点A和M,则把点A和M的坐标代入到函数解析式中,然后用m表示函数解析式。再用m表示出点E和C的坐标,然后根据AE=EF求出点E的坐标,再求点F的坐标即可。
题(2)②根据点N为EF的中点,且EF为定值,可以得到点N的运动轨迹为以C为圆心EF的一半为半径的圆。当点E和M、C共线且位于MC之间的时候取最小值,也就是MC-EF令其等于再求出m。不过本题还需要分类讨论,因为有可能点M在圆内,因为MC可能小于半径的长度,此时点N位于MC的外侧且靠近点M,然后代入求出m的值。
【答案】解:(Ⅰ)当,时,抛物线的解析式为.
抛物线经过点,

解得,
抛物线的解析式为.

抛物线的顶点坐标为.
(Ⅱ)①抛物线经过点和,,
,,即.
,.
抛物线的解析式为.
根据题意得,点,点,
过点作于点,由点,得点.

在中,,,



解得.
此时,点,点,有.
点在轴上,
在中,.
点的坐标为或.
②由是的中点,连接,,得.
根据题意,点在以点为圆心、为半径的圆上,
由点,点,得,,
在中,.
当,即时,满足条件的点在线段上.
的最小值为,解得;
当,即时,满足条件的点落在线段的延长线上,的最小值为,
解得.
当的值为或时,的最小值是.


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