第 109 天：NumPy 矩阵 / 四六文摘

机器学习中会用到大量的数学操作，而 Numpy 计算库使这些操作变得简单，这其中就涉及到了 Numpy 的矩阵操作，下面我们就来一起学习如何在 Numpy 科学计算库中进行矩阵的一些基本运算。

1 矩阵的定义

定义矩阵使用 Numpy 科学计算库中的 mat 函数，如下所示：

numpy.mat(data, dtype=None)

data，表示矩阵的数据。
dtype，表示矩阵中的数据类型，默认是浮点数。

应用示例：

# (1) 定义一个3 X 3的矩阵，数据类型为 intimport numpy as npdata = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]A = np.mat(data, int)print(A, type(A))

# 输出结果：#[[1 2 3]# [4 5 6]# [7 8 9]] <class 'numpy.matrix'>

# (2) 定义一个3 X 3的矩阵，矩阵元素全为0，数据类型为 intimport numpy as npA = np.mat(np.zeros((3, 3)), int)print(A)

# 输出结果：#[[0 0 0]# [0 0 0]# [0 0 0]]

# (3) 定义一个3 X 3的矩阵，矩阵元素全为1import numpy as npA = np.mat(np.ones((3, 3)))print(A)

# 输出结果：#[[1. 1. 1.]# [1. 1. 1.]# [1. 1. 1.]]

# (4) 定义一个3 X 3的单位矩阵import numpy as npA = np.mat(np.eye(3, 3), int)print(A)

# 输出结果：#[[1 0 0]# [0 1 0]# [0 0 1]]

# (5) 定义一个3 X 3的对角矩阵，主对角线之外的元素皆为0import numpy as npA = np.mat(np.diag([1, 2, 3]), int)print(A)

# 输出结果：#[[1 0 0]# [0 2 0]# [0 0 3]]

# (6) 定义一个3 X 3的矩阵，把100作为所有元素初始值import numpy as npA = np.mat(np.full((3, 3), 100), int)print(A)

# 输出结果：#[[100 100 100]# [100 100 100]# [100 100 100]]

2 矩阵的线性代数运算

2.1 矩阵的加法与减法

只有两个矩阵的行数和列数相等时，才可以进行矩阵的加法和减法运算，否则程序会抛出 ValueError 异常。

应用示例：

# 定义两个矩阵 A 和 B，分别进行矩阵的加法和减法运算import numpy as npA = np.mat(np.full((3, 3), 100), int)B = np.mat(np.full((3, 3), 200), int)print(A+B)print(A-B)

# 输出结果：#[[300 300 300]# [300 300 300]# [300 300 300]]#[[-100 -100 -100]# [-100 -100 -100]# [-100 -100 -100]]

2.2 矩阵的数乘

某个实数乘以矩阵称作矩阵的数乘。

应用示例：

# 定义矩阵 A 和浮点数 a，进行矩阵的数乘运算import numpy as npa = 0.1A = np.mat(np.full((3, 3), 100), int)print(a*A)

# 输出结果：#[[10. 10. 10.]# [10. 10. 10.]# [10. 10. 10.]]

2.3 矩阵的点乘

只有在第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时，两个矩阵才能相乘，否则程序会抛出 ValueError 异常。

应用示例：

# 定义矩阵 A 和矩阵 B，进行矩阵的乘法运算import numpy as npA = np.mat(np.full((2, 3), 10), int)B = np.mat(np.full((3, 3), 10), int)print(A*B) # 求矩阵相乘形式一print(A.dot(B)) # 求矩阵相乘形式二print(np.dot(A, B)) # 求矩阵相乘形式三

# 输出结果：#[[300 300 300]# [300 300 300]]#[[300 300 300]# [300 300 300]]

2.4 矩阵的转置

把矩阵的每一行转换为列，称为矩阵的转置。

应用示例：

# 定义矩阵 A，进行矩阵转置运算import numpy as npdata = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]A = np.mat(data, int)print(A.T)

# 输出结果：#[[1 4 7]# [2 5 8]# [3 6 9]]

2.5 矩阵的求逆

非奇异矩阵下，可以对矩阵进行求逆运算。(非奇异矩阵就是行列式不为 0 的矩阵)

应用示例：

# 定义矩阵 A，进行矩阵求逆运算import numpy as npdata = [[1, 2], [3, 4]]A = np.mat(data, int)print(A.I)

# 输出结果：#[[-2. 1. ]# [ 1.5 -0.5]]

2.6 矩阵的行列式

对于矩阵 A，均可对应一个标量 det(A)，它的值将告诉我们矩阵是否为非奇异的。

应用示例：

# 求矩阵 A 的行列式 det(A)import numpy as npA = np.mat([[1, 2],[3, 4]], int)det = np.linalg.det(A)print(det)

# 输出结果：# -2.0000000000000004

计算结果不等于-2，是因为浮点数运算存在精度损失。

2.7 矩阵的秩

如果把矩阵看成一个向量组，那么秩就是线性无关向量的个数，也就是向量组的维度，概念比较复杂，有兴趣的读者可以继续探索。矩阵的秩应该是小于等于行数与列数的最小值。

# 求矩阵 A 的秩 rank(A)import numpy as npA = np.mat([[1, 2],[3, 4]], int)rank = np.linalg.matrix_rank(A)print(rank)

# 输出结果：# 2

2.8 矩阵特征值和特征向量

A 为 n 阶矩阵，若数 λ 和 n 维非0列向量 x 满足 Ax=λx，那么数 λ 称为 A 的特征值，x 称为 A 的对应于特征值 λ的特征向量。

应用示例：

# 求矩阵 A 的特征值和其对应的特征向量import numpy as npA = np.mat([[1, 2],[3, 4]], int)value, vector = np.linalg.eig(A)print(value)print(vector)

# 输出结果：#[-0.37228132 5.37228132]#[[-0.82456484 -0.41597356]# [ 0.56576746 -0.90937671]]

2.9 矩阵的线性方程解

求解形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 为矩阵，b 为一维或二维的数组，x 是未知变量。

应用举例：

# 求解如下线性方程组的解：# x + y + z = 3# 3x + y + 4z = 8# 8x + 9y + 5z = 22import numpy as npA = np.mat([[1, 1, 1], [3, 1, 4], [8, 9, 5]], int)b = np.mat([[3], [8], [22]], int)x = np.linalg.solve(A,b)print(x)

# 输出结果：#[[1.]# [1.]# [1.]]