三角形的“五心”,你真的掌握了么?最全,内含奔驰定理,欧拉线

三角形的五心问题在高中课本中并没有直接给出,但是高考中却时有出现,如果没有对此进行有效研究和训练,碰到此种问题,即使是尖子生也会一头雾水,笔者针对这个问题专门对三角形的五心进行深入研究和剖析,其中三角形的重心,垂心,外心,内心我们在这里会做重点介绍,旁心由于高考并不多见,在这我们只做简单说明.

下面我们依次来介绍:

一、三角形“五心”概念及基本性质

1.三角形的重心:三角形的重心是三角形三条中线的交点。

高中数学徐老师

性质2:重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

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性质4:重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.

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2.三角形的垂心:三角形的垂心是三角形三边上的高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

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3.三角形的外心:三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) ,且钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心在斜边上,且刚好与斜边中点重合;锐角三角形的外心在三角形内.

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4. 三角形的内心:三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心).

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5.三角形的旁心:三角形每一条内角平分线(所在直线)与另外两角的外角平分

线相交于一点,交点就叫做旁心.(这样的点共有三个,如图所示的)

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二、三角形“四心”的相互关系(旁心不作研究)

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三、奔驰定理与三角形“四心”的关系

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备注:奔驰定理是三角形四心向量形式的完美统一,它将四心向量形式表露无疑,是向量中最具魅力和优美的两大结论之一.

四、三角形“四心”的应用

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总结:花了整整一个下午,做完这篇文章,由于篇幅原因,后面例题的详细解答没有打上来,有需要的小伙伴可以关注并私信高中数学徐老师,我会将详细的电子版发给你。

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