2020年南京中考数学第24题特色评讲
2020年南京中考数学第24题特色评讲
原题
如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,⊙O经过点A、C、D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交⊙O于点F.
求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF=EF.
解答
(1)
分析
平行四边形的证法很多,应该用哪一种?
注意到已知条件中,AC=BC,猜测要用到∠A=∠B.在圆中,∠B是圆外角,而∠A是圆周角,它的“地位”显然要高于∠B,而∠B=∠DFC,∠DFC又是四边形DBCF的一个内角,至此,解题的思路已经很清晰了.
继续解答
如答图1,
∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC.
∵∠BAC=∠DFC(同弧所对的圆周角相等),
∴∠B=∠DFC.
在四边形DBCF中,
∵DF∥BC,
∠B=∠DFC,
∴四边形DBFC是平行四边形(一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形).
讲评
这样证法有一定风险,如果有时间,可以由DF∥BC得∠DFC与∠BCF互补,然后等量代换,得∠B与∠BCF互补,进而得DB∥CF,这样比较保险.
继续解答
(2)如答图2,连接AE,猜测可能利用∠1=∠EAF证明AF=EF.
先从∠1入手,
依“同弧所对的圆周角相等”,得∠1=∠2.
然后依“两直线平行,同位角相等”,得∠2=∠B.
∴∠1=∠B.
再从∠EAF入手,
∠EAF和∠ECF的圆内接四边形AECF的一组对角,
∴∠EAF+∠ECF=180º,
由(1)得DB∥FC,
∴∠B+∠ECF=180º.
∴∠B=∠EAF(同角的补角相等).
最后,由等量代换,得∠1=∠EAF.
∴AF=EF(等角对等边).
这里运用“圆内接四边形的一组对角互补”可以简化证明过程.
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