2020年南京中考数学第24题特色评讲

2020年南京中考数学第24题特色评讲

原题

如图,在△ABC中,ACBCDAB上一点,⊙O经过点ACD,交BC于点E,过点DDFBC,交⊙O于点F

求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;

(2)AFEF

解答

(1)

分析

平行四边形的证法很多,应该用哪一种?

注意到已知条件中,ACBC,猜测要用到∠A=∠B.在圆中,∠B是圆外角,而∠A是圆周角,它的“地位”显然要高于∠B,而∠B=∠DFC,∠DFC又是四边形DBCF的一个内角,至此,解题的思路已经很清晰了.

继续解答

如答图1,

ACBC

∴∠B=∠BAC

∵∠BAC=∠DFC(同弧所对的圆周角相等),

∴∠B=∠DFC

在四边形DBCF中,

DFBC

B=∠DFC

∴四边形DBFC是平行四边形(一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形).

讲评

这样证法有一定风险,如果有时间,可以由DFBC得∠DFC与∠BCF互补,然后等量代换,得∠B与∠BCF互补,进而得DBCF,这样比较保险.

继续解答

(2)如答图2,连接AE,猜测可能利用∠1=∠EAF证明AFEF

先从∠1入手,

依“同弧所对的圆周角相等”,得∠1=∠2.

然后依“两直线平行,同位角相等”,得∠2=∠B

∴∠1=∠B

再从∠EAF入手,

EAF和∠ECF的圆内接四边形AECF的一组对角,

∴∠EAF+∠ECF=180º,

由(1)得DBFC

∴∠B+∠ECF=180º.

∴∠B=∠EAF(同角的补角相等).

最后,由等量代换,得∠1=∠EAF

AFEF(等角对等边).

这里运用“圆内接四边形的一组对角互补”可以简化证明过程.

(0)

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