将军饮马问题,掌握这十个数学模型就够了

将军饮马”问题是初中数学中非常重要的数学知识和几何模型,也是求线段最值问题的最常用数学模型。

将军饮马问题是一个有故事的数学问题,故事大意如下:

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:'白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。'诗中隐含着一个有趣的数学问题。

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦,一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发,先到河边饮(yìn)马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短?从此,这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传。

将军饮马问题的最基础模型探究:

这个问题的解决并不难,据说海伦略加思索就解决了它。抽象为数学模型:直线l同侧有两个定点A、B,请在直线l上找一点C,使AC+BC最小。假设点A、B在直线l的异侧就好了,这样我们就可以利用【点到点最值模型:两点之间线段最短】找到点C的位置了。即连接AB交直线l于点C。
因此,我们可以找点A关于直线l的对称点,连接A’B交直线l于点C,点C即为所求!
如果将军在河边的另外任一点C'饮马,所走的路程就是AC'+C'B,
但是AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.
故在点C处饮马,路程最短。
要点概述:
1.初中数学线段最值问题可以总结为三类,点与点点与线线与线之间的最值,一般需要用到以下知识点:
2.将军饮马问题的核心思想,它的核心思想是“化折为直”,
“化折为直”是初中数学最重要的一个解题思想,将军饮马,费马点,胡不归,阿氏圆等最值问题,都用到“折化直”的数学转换思想。
化折为直的方法有轴对称,平移,构造子母相似三角形,三角函数转换等等,将军饮马问题大都采用的是轴对称来实现“折化直”的目标。
将军饮马最值问题常用的十大模型:
我把将军饮马问题进行了简单的分类,和最小问题,差最大问题,架桥选址问题等等。从动定点数学分为一定两动,两定两动问题等等。
将军饮马问题的数学模型非常多,对于初中生而言,掌握下面十个常见的将军饮马模型(变式)就够了,其中模型一和模型二是基础,其余模型是在此基础之上产生的。
这十种模型也是将军饮马问题最常见的模型,熟练掌握这十种模型,可以应对初中的考试题目了。当然,不能死记硬背,一定要掌握核心思想,掌握解决问题的思路,才能灵活运用,举一反三。
将军饮马模型系列之1
将军饮马模型系列之2
将军饮马模型系列之3
将军饮马模型系列之4
将军饮马最值问题的基本解题思路:
  • 首先是模型识别,看是否满足将军饮马模型的特征,动点在定直线上运动,求定点与动点之间距离之和的最值,一般是和的最小值,有时也会涉及差的最大值;
  • 其次是辅助线的构造,一般是做其中一定点关于动点所在直线的对称点,连接对称点和另外一定点,连线的与动点所在直线的交点即为最小值点;
  • 确定最小值点后,解答题还需要证明,一般都是利用两点之间线段最短,也可用三角形三边关系进行分析和证明;
  • 最后就是计算了,计算线段长度的时候,一般需要构造直角三角形,利用勾股定理来进行计算。
下面给大家准备了一些 将军饮马问题的练习题,供复习备考使用。
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