直观了解极点和零点

在我的学术生涯中，我注意到系统理论是最难教和最难学的课程之一。这些极点和零点概念在课堂上都感觉很有意思，但是一旦学生想将它们与实验室中的物理电路联系起来，理论和实践之间就会出现鸿沟。在这篇文章中，我将尝试找出关于极点和零点的物理感觉，使用运算放大器来控制它们在复平面中的位置，并利用电路的自然响应来说明极点/零点位置的影响。

单端口电路的自然响应

我们来看图1中的无源线性单端口电路，它包括电阻、电容和电感。

图1：（a）无源单端口电路 （b）自然（或无源）开路响应v_n(t)。

如果我们施加一个测试电流I(s)，单端口电路将产生电压V(s)，使得V(s)=Z(s)/(s)，其中I(s)和V(s)是所施加电流和所产生电压的拉普拉斯变换，s是以sec^-1为单位的复数频率。阻抗Z(s)是s的有理函数形式，即分子多项式N(s)与分母多项式D(s)的比值：

公式N(s)=0的根被称为Z(s)的零点，表示为z₁，z₂，……；而公式D(s)=0的根被称为Z(s)的极点，表示为p₁、p2、……。极点和零点统称为根，也称为临界频率。例如，阻抗：

当s=0时，其值为零；当s=-3±j4时，它具有复共轭极点对。可以用根来表达它，即：

如果我们绘制|Z(s)|相对于s的幅度曲线，则可以直观理解零点和极点的含义。所得到的曲线就好像在s平面上竖起的帐篷，在零点处接触s平面，而在极点处其高度变为无限。

图2：Z(s)=(10Ω)s/(s²+6s+25)的幅度图。（通过在虚轴上计算|Z|获得的分布曲线图显示出单端口电路的交流响应。）

为了找到极点的物理感觉，我们在s接近极点p_k时施加电流I(s)，就可以用相当小的I(s)获得给定的电压V(s)。s越接近极点p_k，获得给定电压V(s)所需的电流I(s)越小。在s→p_k的极限状态下，即使电流为零，即开路，单端口电路也会获得一个非零的供电电压（见图1b）！这个电压称为自然响应或无源响应，因为单端口电路可利用储存在其电容和电感内部的能量来产生电压。这些能量在电阻中消耗尽了，在无源单端口的情况下，它们将随时间呈指数级衰减。实际上，系统理论预测到自然响应符合以下表达式：

其中a₁，a₂，......，是取决于存储能量的合适系数（以V为单位），Z(s)的极点是指数中时间常数的倒数。

那么Z(s)的零点呢？我们来看图3，它表示图1的两种情况。现在施加的信号是电压V(s)，而响应是电流I(s)=[1/Z(s)]V(s)，这表明Z(s)的零点现在成为1/Z(s)的极点。通过双重推理，在s→z_k的极限状态下，即使施加零电压（短路），单端口电路也将提供非零电流（参见图3b）！该电流称为自然响应或无源响应，因为单端口电路利用储存在其电容和电感内部的能量来产生电流。系统理论预测自然短路电流响应符合以下表达式：

其中b₁，b₂，......，是取决于存储能量的合适系数（以安培为单位），Z(s)的零点是指数中时间常数的倒数。

图3：（a）无源单端口电路（b）自然（或无源）短路响应i_n(t)。

总而言之，单端口电路的自然响应由其阻抗Z(s)的根控制：极点控制开路电压响应v_n(t)，而零点控制短路电流响应i_n(t)。在某种程度上，根就像是单端口电路的DNA。例如，我们来看图4的单端口电路。在t=0时，电容两端的电压为9V，顶部为正，t>0时它的自然响应是什么？可以看出单端口电路呈现的阻抗是：

显然，z₁=–1/(R₁C)=-1/(10ms)，p1=-1/[(R₁+R₂)C]=-1/(30ms)。此外，a₁=[20/(10+20)]9=6V且b₁=9/10=0.9mA。所以：

图4：找出（a）开路和（b）短路的自然响应。

单极点控制

在图5a的电路中，由vn表示的节点和地之间的阻抗为Z(s)=R||(1/sC)=R/(1+sRC)，因此在s=-1/(RC)=-1/(1ms)时电路具有一个极点。假设v_n(0)=1V，我们可以得到：

图5：（a）基本电路（b）相同的电路，但可以控制极点。

无论怎样选择R和C的值，该电路的极点将始终为负。我们希望找到控制它的方法，以便将其驱动为零甚至使其成为正的。图5b示出的电路可以完成这项工作。非反相放大器检测v_n并输出电压：

(1 + R₂/R₁)v_n = (1 + k)v_n

k = R₂/R₁

其中R₂代表电位器在其左端和游标之间的部分。对于给定的元件值，从左端到右端改变游标将使k在0<><>₃上的电压为(1+k)v_n–v_n，即kv_n，在右边是正的，表明R₃将为C提供电流kv_n/R₃。鉴于R从C中汲取电流v_n/R，因此从C流出的净电流为i_C=v_n[1/R+1/(-R₃/k)]，表明C视R与一个负电阻–R₃/k并联，净等效电阻R_eq=R||(–R₃/k)]。扩展后可以得到：

对于给定的元件值，我们有R_eq=(10kΩ)/(1–k)，因此极点位置现在为s=-1/(R_eqC)=-(1–k)/(1ms)，公式（4）变为：

我们讨论一下电路作为游标设置函数的工作原理，使用图6中的PSpice电路来显示随后的自然响应类型。

●当游标一直向左（k=0）时，R₃上的电压降为零，因此R₃带有零电流，C通过R放电，时间常数为1ms，如公式（4）所示；

●将游标向右移动时，R₃将电流提供给C，只要该电流小于R汲取的电流，C仍然会呈指数放电，但速度比k=0时要慢；

●当游标处于中间（k=1）时，R₃输出的电流等于R汲取的电流，电容的净电流为零，因此电容电压保持恒定；

●将游标进一步向右移动（k>1），使得源电流大于汲取电流，因此C呈指数充电，从而产生不同的响应，直到运放饱和。

图6：PSpice电路显示不同k值的自然响应，假设电容最初充电电压为1V。

图7描绘了随k变化的极点位置。

图7：极点轨迹是k的函数。

极点对控制

在图8a的电路中，干扰产生自然响应v_n(t)的阻抗是:

D(s)的阶数表明我们现在有一个二阶系统。对于这样的系统，D(s)通常以更方便的形式表达:

其中ζ称为阻尼比，ω₀称为无阻尼固有频率。设D(s)=0，可以得到极点对：

比较公式（8）和（9），我们发现图8a的电路具有：ζ=1.5和ω₀=1/(RC)=1/(1ms)。代入公式（10）得到极点对p1=-1/(0.3818ms)，p2=-1/(2.618ms)，表示v_n(t)由一对指数衰减组成，因为电阻消耗了存储在电容中的电能。

为简单起见，假设图8a的RC对完全相同。可以看出，无论我们怎样选择元件值，该电路的极点将始终为负实数。

图8：（a）基本电路（b）相同的电路，但可以控制极点。

我们希望可以找到方法来控制它们在复平面上的位置，以便将它们放置在虚轴上，甚至使它们溢出到复平面的右半部分。图8b示出了可完成这项工作的电路。其中最左边的电容被提升离地，由一个非反相放大器驱动，该放大器检测到vn并输出电压(1+R₂/R₁)v_n=(1+k)v_n，k如公式（5）所示。对于给定的元件值，从左端到右端改变游标将使k在0<><>

使用熟悉的电路分析技巧，我们发现干扰产生自然响应v_n(t)的阻抗为：

表明2-k=2ζ，或：

ω₀=1/(RC)=1/(1ms)。我们来讨论电路随游标设置变化的工作原理，同样，使用图9a的PSpice电路来显示随后的自然响应类型，如图9b所示。

●随着游标一直向左滑动（k=0），可以得到ζ=1。公式（10）得到重合的极点对p₁=p₂=-1/(1ms)。在这种情况下，系统理论预测该类型的自然响应为：

其中a和b是适合的系数，取决于t=0时存储在电容中的能量。如图9b所示，在初始浪涌之后，自然响应呈指数衰减至趋于零。

●设k=2，得到ζ=0，所以公式（10）预测纯虚极点对p_1,2=±j10³，其中j是虚数单位(j²=-1)。使用欧拉公式exp(jα)+exp(–jα)=2cosα，可以看出自然响应现在采用这种形式：

图9：PSpice电路显示对应于不同k值的自然响应，假设在t=0时，C_a充电到1V，C_b放电。

其中a和φ是适合的系数，取决于t=0时存储在电容中的能量。其结果是持续振荡，也称为无阻尼振荡（因此称为ω₀）。物理上，运算放大器注入单端口电路的能量等于端口电阻消耗的能量，这让电容以某种乒乓方式交换能量。

●对于0<><2，有1>ζ>0，所以现在公式（10）可以预测一对复共轭极点。例如，当k=1.5时，由公式（12）得到ζ=0.25，因此由公式（10）得到：

代入公式（2），合并，并再次使用欧拉公式，将得到自然响应公式：

其中a和φ是适合的系数，取决于t=0时存储在电容中的能量。

如图9b所示，对于k=1.5，电容仍然以乒乓方式开始交换能量，但是该能量逐渐被电阻消耗，从而产生阻尼振荡。

●将k提高到2以上，使运算放大器注入的能量超过端口电阻可以消耗的能量，引起发散振荡，如图9b中k=2.1所示。振荡将持续增长到运算放大器饱和为止。

图10示出了随k变化的根轨迹。总而言之，无源电路的极点位于复平面的左半部分。为了使它们溢出到右半平面，我们需要一个有源元件，例如示例中的运算放大器，从自己的电源端获取能量并将其注入单端口电路。右半平面的极点导致发散的响应，最终使放大器饱和。

图10：（a）作为k的函数的根轨迹（b）在阻尼响应状态下的极点对。

一个流行应用

我们的电路控制极点对位置的能力可用于产生持续的正弦波。为此，它需要满足两个条件。

●为了可以自己启动，电路的初始配置必须使其极点对位于复平面的右半部分（k>2.0）。

图11：在虚轴上放置并保持一对极点，以产生正弦波。

即使两个电容最初都放电，运算放大器的一点噪声输入就足以触发不断增长的振荡。

●一旦振荡达到所需幅度，就必须采取一些机制进行干预，以防止其进一步增长，并将其保持在该幅度。这需要将极点对放置在虚轴（k=2.0）上，并自动保持极点在其上，不管元件老化和漂移，或者任何其它干扰。

在图11a中，电源接通时，两个二极管仍然关闭，因此k=R₂/R₁=22/10=2.2，表明振荡增加。随着振荡的增加，二极管在交替的半周期内逐渐导通，所以k=[R₂||(R₃+r_d)]/R₁，其中r_d是动态二极管电阻（r_d随二极管电流而减小）。在r_d<>₃的极限情况下，我们将得到k=(22||100)/10=1.8，表示电路可在1.8<><>

假如由于某种原因实际幅度超过期望值，r_d将减小并导致k降至2.0以下，从而抵消幅度上升。相反，如果幅度降至所需值以下，r_d将增加并使k上升到2.0以上，从而抵消幅度下降。总之，只有k=2.0时电路才能找到它的“和平”状态。“啊，这就是负反馈的魔力！”我的一名学生这样感慨，他毕业后去了卢卡斯电影公司工作。

（原文刊登于ASPENCORE旗下EDN英文网站，参考链接：Playing with poles and zeros。）

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