新教材｜从一元二次不等式到穿线标根法
不知不觉，
又见新教材。
确实，
现在的新版教材，
有许多的地方也都变的不一样了。
尤其是象我这样任教二十多年的教师，
面对新教材，
很多时候可能是怀有不解和抵触的。
为什么？
教材越改越“简单”了！
但高考的改革，
却未必能跟上它的步伐吧。
因为总是害怕孩子们会吃亏，
老教师面对新教材，
在教学时，
可能会和我一样的，
不自觉会强加一些东西给学生。
其实知道，
也许完全是吃力不讨好的。
但又实在是忍不住的，
不是么！
就像是今天应粉丝要求要讲的不等式，
除了课本之外，
确实还是有很多的话想说的。
要问不等式到底有多难？
确实，
真是难者不会，
会者不难的。
那要问不等式到底有多重要呢？
不懂它的后果，
大概在高中，
基本也就是寸步难行吧。
嗯，
绝对是寸步难行的！
所以今天面对新学生，
想说一下不等式。
理所应当的，
首先就要了解课标对它的基本要求，
以及要求到了什么程度。
而现在，
课改之际，
当然要先了解新旧课标之间的
区别与联系。
其实，
通过对新、旧课标的解读，
不难发现，
新课标明显强化了不等式的实用性，
加强了利用函数观点解不等式的思想。
说的更直白点，
就是对不等式的要求，
力争做到“有用”和“直观”。
知识学习有意义，
学习知识重直观。
所以，
从函数的观点，
理解方程和不等式，
是学习这个模块的基本思想方法了，
那么，
不喜欢作图的同学，
是不是应该努点力了呢！
不过教材的安排，
也是很人性化的，
通过对初中相关内容的梳理，
先理解函数、方程和不等式之间的联系，
进而体会数学的整体性。
所以说，
教材这部分内容，
其实是初中相关知识的延续与深化了。
一元二次不等式
例1.若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集
是{x|-3<x<1}.
①解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
②b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R？
解：①由题意，1-a<0且-3和1是方程
(1-a)x2-4x+6=0的两根。
②ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0,
若不等式的解集为R，
则Δ=b2-36≤0,
所以-6≤b≤6.
即当-6≤b≤6时，解集为R.
第①问考查方程与不等式之间的关系：
从某种角度来说，
不等式解集的区间端点，
一定是相应方程的根的。
第②问主要从函数图像的角度，
理解不等式的几何意义。
不等式的几何意义到底是什么呢？
其实就是在x轴上方或下方时，
函数图像上点的横坐标的取值集合了。
例2.解不等式：2x2-(a+2)x+a<0.
其实解一元二次不等式，
主要注意三个方面：
首先当然是抛物线的开口方向，
其次要知晓根的大小，
最后当然是不等式的几何意义了。
正常情况下，
拿到一个不等式后，
我还是喜欢将二次项的系数变为正数的。
在最高次幂系数为正数的情况下，
很多问题都显得简单了许多。
我就在这种条件下，
解不等式的同时，
教会了孩子们怎么愉快的吃鱼。
大鱼吃两头，小鱼吃中间。
其实这种吃法还是很有道理的。
毕竟，
鱼唇、鱼脑、鱼脆骨，
这些好东西一定都是在鱼的头部，
而鱼尾不用说，
时刻都在运动的部位，
当然是最好的。
可是这些东西，
只有大鱼身上才是丰富的，
小鱼还是算了，
掐头去尾吃中间，
好歹还能有点肉的。
所以，
一定要记住：
大于（鱼）吃两头，
小于（鱼）吃中间哦。
至于中间与两头的分界线，
不等式中，
当然是方程的解了。
分式不等式
按照数学解题的化归思路，
分式不等式当然是要去分母的。
所以这里分类讨论的目的，
就是将分式不等式变为一元一次不等式。
也深刻体现了，
数学解题的“化归意识”。
其实，
右边变为0以后，
利用乘法与除法符号法则相同的特征，
将分式不等式变为一元二次不等式，
不仅是化归意识的体现，
也是我最最喜欢的一种方式。
所以说，
化生为熟，
化复杂为简单，
是数学解题的基本思路。
当然，
固定的题型，
还是要形成自己的解题习惯，
才能快速准确的解决问题。
所以，
先将右式化为0哦！
从函数角度看不等式，
其实就是比较两个函数图像的高低。
而函数值大小的比较，
自然是以两图交点为分界了，
交点的横坐标，
也正是相应方程的根。
这种利用函数方程与不等式之间的关系，
解不等式的思想，
在中学数学中，
真的是极其重要的。
对于不喜作图的同学来说，
这个要求是不是有点高了呢？
只是这种方法，
其实是真的挺方便的。
如果是选择题，
完全可以根据解集的特征，
去进行排除的。
一元高次不等式
依然还是化归、化归！
不过也幸亏是右式为0吧。
其实细想下，
穿线标根法的本质，
说白了，
也就是做函数的草图而已吧。
思路和前面是一样的，
右式不为0时，
先变为0再说吧。
这样一定会更方便点！
从这个动图中，
能不能受到点启示呢？
其实，
对于高次不等式来说，
还是要先求得相应方程的根的。
就象这里的方程，
(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)=0
其实应该有7个根：
x1=1,x2=x3=2,x4=x5=x6=3,x7=4
穿线标根，
要求每个根都要穿一次，
那么对于重根，
穿线的时候，
就要重复的穿。
重复2次穿2次，
重复3次穿3次。
所以就有了穿而不过和穿过的说法。
在这个不等式中，
根3因为穿了3次，
所以就穿过了；
根2重复两次穿两次，
显然是穿而不过的，
但在数轴上留下了一个小孔。
所以，
这个时候穿线标根的结果，
其实是下面这个样子的。
f(x)>0,
当然要找x轴上方，
图像上点的横坐标的范围了，
只是一定一定别忘了：
x=2处可是有个小针孔哦！
含有参数的不等式
当然，
穿线标根的前提，
首先要确定根之间的大小关系。
那么，
对于含参数的不等式，
因式分解后，
可能会出现根之间大小关系不能确定了。
那怎么办呢？
就先讨论大小关系，
再穿线标根写解集了。
显然，
这个等式对应的方程有4个根：
x1=1,x2=2，x3=3,x4=a,
但根a与根1、2、3的大小关系能确定么？
显然不能的。
那，就只有老实的讨论了：
分析：
根a的可能性
① a>3
② 2<a<3
③ 1<a<2
④ a<1
至于a等于其中的某个根时，
其实对于解集是没有多大影响的。
就象是a=3时，
重根3是穿而不过的，
而此时3<x<a不是正好是空集么。