共顶点三角形旋转下的相似问题

通过复习与旋转有关的画图方法，巩固与旋转有关的图形运动特征，提炼并形成过共顶点三角形旋转下的相似问题中求线段长度的一般方法。共顶点三角形旋转下的相似问题常常引用的模型是“手拉手三角形”，即通过旋转产生一组新的相似三角形，从而利用勾股定理或锐角三角比综合解决问题。

1、根据本题中与旋转有关的关键词填空：

由▲ACD旋转到▲_________可知：(▲AD'B)

旋转中心是_______(点A)，旋转方向是_________(逆时针旋转)，旋转角是∠________或∠_______.(∠DAC或∠D'AB).

2、根据旋转后的图形填空：

▲ACD旋转到▲_____(▲AD'B)(共顶点三角形旋转)

→▲ACD≌▲_______(▲AD'B)

→▲ABC与▲_______(▲AD'D)都是等腰三角形

→▲ACB∽▲_______(▲AD'D)→AC:____=BC:____.(AD、DD').

即求DD'的长就是求AD的长.

即共顶点三角形旋转产生共顶点等腰三角形.

解答过程如下：

解法分析：由例题的分析可知，▲ABD与▲BCE是旋转相似的三角形，因此若要求CE的长度，实际上就是求AD的长度。由于▲ABD是等腰三角形，因此可以通过作BD上的高，利用勾股定理求AD的长度。

解法分析：由例题的分析可知，▲ABD与▲BCE是旋转相似的三角形，因此若要求CE的长度，实际上就是求AD的长度。由于▲ABD是等腰三角形，因此可以通过作AD上的高，借助等积法求得，继而再利用勾股定理求AD的长度。

方法小结：求线段长，先相似，后Rt，Rt中先三角后勾股，求高常用等积法。

解法分析：由例题的分析可知，▲BCD与▲ACE是旋转相似的三角形，因此若要求AE的长度，实际上就是求BD的长度。由于▲ABD是等腰三角形，因此可以通过利用cos∠B求得BD得长度。

解法分析：由旋转得到两个三角形是相似三角形，而求相似三角形面积之比，可以转化为对求应边之比，即求出AB和AC的边长即可.

结语：对于旋转问题，要善于发现图中的全等、相似三角形，对于出现的等腰三角形，要善于利用等腰三角形的三线合一定理，通过做高，构造直角三角形，继而利用勾股定理或锐角三角比综合解决问题。