反证法——证明命题为真命题的杀手锏

反证法在目前的高中教材中虽较显见，但也是教材中证明真命题的一种重要方法。教材中第一次使用反证法是在“不等式的基本性质”一小节中证明不等式的基本性质八时用到。第二次用到是在立体几何中证明两直线是异面直线。

反证法首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。反正法的基本原理就是原命题与其逆否命题是同真同假的两个命题。

为什么说反证法是证明真命题的杀手锏呢？

如今，高考的证明题一般都是代数问题（函数、数列等），几何证明题几乎不可能考，所以证明题现在转战代数题。而高中代数不像几何那样有一套完整的公理、判定定理和性质定理（当然这一套现在也减负减掉了，这也是证明题不考几何题主因），在高中代数里我们判定一个事实的依据只能是概念的定义，而很多结论仅根据定义从正面往往无法推理，这个时候反证法祭出往往就能解决。

例一.证明：tan1°是无理数

分析：拿到这个问题我们首先要搞明白何为无理数——无限不循环小数，不能写作两整数之比。已知什么呢，tan30°=1/√3是无理数。所以这个问题的证明用反证法就容易了。

证明：假设tan1°不是无理数，则tan1°是有理数。

因为tan2°=2tan1°/(1-（tan1°）^2)，所以tan2°也是有理数，

同理可推得tan4°、tan8°、tan16°、tan32°也都是有理数，

又因为 tan30°=tan（32°-2°）=（tan32°-tan2°）/（1+tan32°*tan2°），

所以tan30°是有理数与tan30°=1/√3是无理数矛盾

因此，tan1°是无理数。

例二. 求证：过空间一点垂直于一个平面的直线有且只有一条

分析：“有且只有一条”是严格的数学语言，它的含义是存在且唯一。所以本题就是要证明两点：1.证明过空间一点垂直于一个平面的垂线是存在的。存在性的证明关键是找到即可。我们知道“垂直于平面内的两条相交直线的直线垂直这个平面”，因此存在性是显然的。2.证明过空间一点垂直于一个平面的垂线是唯一的。唯一性的证明要从正面去论证就很难了，因此唯一性的证明都采用反证法。

证明：

存在性：  显然

唯一性：假设过空间一点垂直于一个平面的直线不止一条，那么设过点P的两条不同的直线a、b都垂直平面α，即a∩b=P，a⊥α，b⊥α

因为a∩b=P，所以直线a、b确定一个平面记为β，并设α∩β=m（如图）

由于a⊥α，b⊥α，所以a⊥m，b⊥m

因此得，在同一个平面内过点P有两条直线a、b都垂直同一条直线m与平行公理矛盾。

所以，过空间一点垂直于一个平面的直线只有一条。

因此，过空间一点垂直于一个平面的直线有且只有一条

例三.

分析：此题上次推文已从正面进行过论证，其实用反证法可以更方便论述。

证明：