说说几何之外的一些直角三角形

很多人看题目可能会觉得奇怪，也是，直角三角形嘛，肯定应该和几何有关系，难道几何学以外还有什么三角形不成？确实有，而且随便就可以举出几个例子。第一个是高中一上来就要学到的力的正交分解。

正交分解的好处是计算比较容易，特别是现在好像已经不学正弦定理、余弦定理的情况下。

另外正交分解并不限于斜面上的木块，也不限于受力分析。如果我们将其用在动量、动能的研究上，就会发现，假设一个物体的速度 向两个互相垂直的方向分解，一个分量是 ，另一个分量是 ，根据勾股定理，恰好有 ，两边同时乘以质量的一半后，正好表示物体的动能等于各个分速度带来的动能和。

直角三角形在电工学里也有妙用。对于电阻（）、电容（）、电感（）三者串联在一起的电路，如果通上交流电，会有一大堆形似勾股定理的公式，包括电路阻抗、电压有效值、视在功率&有功功率&无功功率等等。我个人当年学习电工学遇到的第一个难点就是这里的功率问题：这个有功功率貌似仅是电阻器发热的功率，那电动机提升重物的有功功率从哪里来呢？

本文要讲的最后一个几何之外的直角三角形是积分代换。一般来说，涉及三角代换时，包括以下两种情况：

比如下面这个题目：

三角代换是计算许多不定积分的技巧。

以上所说内容可以分成两类：一类是矢量合成与分解，一类是式子本身包含有平方和、平方差，前面说的速度问题（动量、动能）可以说是同时包括了这两方面。笔者写到这里突然想到，狭义相对论里也有很多式子包含平方和、平方差，一定也能和直角三角形扯上关系，至于具体怎么联系，就请有这方面知识的读者自己动脑筋了。——看，两千多年前的直角三角形居然和二十世纪伟大的物理学革命联系到了一起，真是妙不可言。