1道经典的奥数几何题：求角的度数，难度大，方法多

大家好！今天和大家分享一道奥数经典几何题：如下图，四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=80°，∠BCD=160°，求∠BAD的度数。这道题的难度大，难住了不少考生，但是解题的方法实际上非常多。下面一起来看一下这道题。

本题的难度是如何通过辅助线将已知的边和角与所求的角联系起来。

题目中出现了比较多的线段相等的情况，所以可以构造等腰三角形。构造什么样的等腰三角形呢？只有特殊的等腰三角形——等边三角形的内角度数是不变的，所以需要构造出等边三角形。

下面介绍4种解法。

解法一

如上图，以AB为边，在四边形ABCD内部作等边三角形ABE，连接CE、DE。

因为△ABE为等边三角形，所以∠ABE=60°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-60°=20°。

又AB=BC，AB=BE，所以BC=BE，所以∠BCE=80°，则∠DCE=∠BCD-∠BCE=80°，即∠BCE=∠DCE。

因为BC=CD，∠BCE=∠DCE，CE=CE，所以△BCE≌△DCE，从而可以得到∠CED=80°，且DE=AE。

又∠ADD=360°-∠AEB-∠BEC-∠CED=40°，所以∠EAD=20°，所以∠BAD=∠BAE+∠EAD=80°。

解法二

如上图，过点C作CK//AB，取CK=AB，连接AK、BK、DK。

因为CK=AB，AB=CD，所以CK=CD。

又CK//AB，所以∠BCK=100°，得到∠KCD=60°，即△KCD为等边三角形。所以KD=AB。

因为cK//AB，且CK=AB，AB=BC，所以四边形ABCK为菱形，所以∠BAK=100°，AK=AB。

由AK=AB，KD=AB得AK=KD，所以∠KAD=∠ADK。因为∠AKD=∠AKC+∠CKD=80°+60°=140°，所以∠KAD=20°。

所以∠BAD=∠BAK-∠KAD=100°-20°=80°。

解法三

如上图，以BC边作等边三角形LBC，连接LA、LD。易知AB=BC=CD=LB=LC，所以∠BAL=∠BLA，∠CDL=∠CLD。

因为∠ABL=∠ABC+∠LBC=80°+60°=140°，所以∠BAL=20°。

因为∠LCD=360°-∠BCD-∠BCL=360°-160°-60°=140°，所以∠CLD=20°，所以∠ALD=60°。

又AB=DC，∠ABL=∠DCL，BL=CL，所以△ABL≌△DCL，所以LA=LD，所以△LAD为等边三角形，即∠LAD=60°。

所以∠BAD=∠BAL+∠LAD=20°+60°=80°。

解法四

如上图，以CD边作等边三角形MCD，连接BM。

在等边三角形MCD中，DM=CM=CD，所以AB=BC=CD=DAM=CM，所以∠MBC=∠CMB。

因为∠BCM=360°-∠BCD-∠MCD=360°-160°-60°=140°，所以∠MBC=∠CMB=20°，所以∠ABM=∠ABC+∠CBM=80°+20°=100°，∠BMD=∠BMC+∠CMD=20°+60°=80°，即∠ABM+∠BAD=180°，所以AB//DM。

又AB=DM，所以四边形ABMD为平行四边形，所以∠BAD=∠BMD=80°。

这道题的难度确实不小，实际上考查的是等腰三角形、等边三角形的知识，但是辅助线做法比较复杂。本文介绍了4种比较容易想到的辅助线作法，希望对您有用。