Z=X Y型概率密度的求解

@(概率论)

Z = g ( X , Y ) Z = g(X,Y) Z=g(X,Y)

总结过一次，一般方法是可以由分布函数再求导得到概率密度，计算一定更要小心才能得到正确的解。

F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P ( g ( X , Y ) ≤ z ) = ∫ ∫ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(g(X,Y)\leq z) \\ = \int\int_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy FZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)=∫∫g(x,y)≤zf(x,y)dxdy

特别当 Z = X − Y Z = X-Y Z=X−Y时，推导：

F Z ( z ) = P ( X + Y ≤ z ) = ∫ ∫ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z − x f ( x , y ) d y 或 者 = ∫ − ∞ + ∞ d y ∫ − ∞ z − y f ( x , y ) d y F_Z(z) = P(X+Y \leq z) = \int\int_{x+y\leq z}f(x,y)dxdy \\ = \int_{-\infty}^{+\infty}dx\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)dy \\ 或者 = \int_{-\infty}^{+\infty}dy\int_{-\infty}^{z-y}f(x,y)dy FZ(z)=P(X+Y≤z)=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫−∞+∞dx∫−∞z−xf(x,y)dy或者=∫−∞+∞dy∫−∞z−yf(x,y)dy

从而求得概率密度是：
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx \\ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dxfZ(z)=∫−∞+∞f(z−y,y)dy

更特别的是，如果X,Y相互独立，则:
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx \\ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy fZ(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dxfZ(z)=∫−∞+∞fX(z−y)fY(y)dy

可以看出来一点规律，如果是用x作积分变元，则就从表达式中解出对方，如y = z-x。

这个具有一般性，即如果Z = X-Y，则对x积分时，y替换为y = x-z即可。

看一道例子，运用这种方法很快，但是一定要小心求得正确解，否则毫无意义。

设随机变量(X,Y)的概率密度是：
f ( x , y ) = { 3 x , 0 < x < 1 , 0 < y < x , 0 , 其 他 f(x,y) = {3x,0<x<1,0<y<x,0,其他

f(x,y)={3x,0,0<x<1,0<y<x,其他
求随机变量Z = X-Y的概率密度 f Z ( z ) f_Z(z) fZ(z)

分析：直接引入公式。

f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , x − z ) d x f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,x-z)dx fZ(z)=∫−∞+∞f(x,x−z)dx

到这里要准备好变量的取值范围，根据题干，必须有：

0 < x < 1 , 0 < x − z < x → 0 < x < 1 , x > z ; z > 0 , z < 1 0<x<1, 0<x-z<x \\ \rightarrow 0 < x <1, x>z; z>0,z<1 0<x<1,0<x−z<x→0<x<1,x>z;z>0,z<1

从两个角度分别看。即求积分要把z视作常量，得到 0 < z < x < 1 0<z<x<1 0<z<x<1。
而z本身也需要确定范围，将x视作常量，且x范围已知，因此 0 < z < 1 0<z<1 0<z<1。

确定范围非常重要。

这样就可以直接得到答案了：

0 < z <1时
f Z ( z ) = ∫ z 1 3 x d x = 3 2 − 3 z 2 2 f_Z(z) = \int_{z}^{1}3xdx = \frac{3}{2}- \frac{3z^2}{2} fZ(z)=∫z13xdx=23−23z2

其他情况下， f Z ( z ) = 0 f_Z(z) = 0 fZ(z)=0

即：

f Z ( z ) = { 3 2 − 3 z 2 2 , 0 < z < 1 , 0 , 其 他 f_Z(z) = {32−3z22,0<z<1,0,其他

fZ(z)={23−23z2,0,0<z<1,其他

–写这个原因是求错了的答案怀疑这种公式无法使用，实际上是因为自己太蠢了些。重新思考发现此法要比求二重积分再求导得到答案要快许多，运用得好，效率倍增。

Update:实际上这里没有彻底搞清楚x的取值范围问题，以至在后面出现了不是很理解的题目。

回到这里总结一下。

f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , x − z ) d x , 0 < x < 1 , 0 < x − z < x f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,x-z)dx, 0<x<1, 0<x-z<x fZ(z)=∫−∞+∞f(x,x−z)dx,0<x<1,0<x−z<x

最好的做法是看两个变量互相牵制形成了怎样的局面，画图是最佳方法。我们以积分变元为横轴，当然也可以是纵轴，只是要熟悉背后的道理。

阴影部分区域是二者互相限制后形成的可积分的区域。现在不是求二重积分而是一重积分，但是可以用二重积分的思想：认为是对z积分以后现在再对x积分，因此，x的取值是在垂直于z的取值范围内画一条红线，穿过阴影区域的上下限值，因此是(z,1)，这才是真正的完整的解法。上面的范围求解在分三段甚至更多段的情况下根本不好判断。数形结合百般好，隔家分裂万事非。

20190919 update: