等腰直角三角形中利用旋转构造全等三角形

等腰直角三角形因为其特殊性，一对直角边相等，并且有一个角是直角，因此往往可以通过绕着直角顶点旋转90°，构造全等三角形，以此来证明相等线段。不仅如此，等腰直角三角形中特殊的45°角，不仅仅是其底角的特征， 同时联结直角顶点和斜边中点也可得到45°角。利用等腰三角形的这两个特征能助力我们解决等腰三角形背景下的线段相等问题。

解法分析：如图1，通过分析已知条件，除了呈现了等腰直角▲ABC外，还通过两个直角，得到一对等角，即∠DBC=∠DAC。要证明∠ADC=45°，有两条路径：路径1：构造等腰直角三角形，说明∠ADC=45°；

路径2：通过构造90°角的平分线，从而得到45°角。本题的两条路径都是可行的。思考路径1：如下图，通过已知的一组等角和一组等边，构造与▲BCD全等的三角形，由于构造的全等三角形与▲BCD共顶点（顶点为C），因此将▲BCD绕点C顺时针旋转90°即可得到▲ACP。添线方法为：①在AD上截取AP=BD；②过点C作CD⊥CP。 解决方法为：证明▲CDP为等腰直角三角形，得∠CDP=45°。

思考路径2：如下图，欲证∠ADC=45°，只需要证明CD是∠ADP的平分线即可。通过将▲AOC绕点C顺时针旋转90°得▲BCP，再利用全等三角形的性质及角平分线的逆定理证明。添线方法为：延长BD、AC交于点P，过点C作AD和BD的垂线。 解决方法为：证明▲AOC≌▲BCP，再证明垂线段CM=CN，从而得到CD为∠ADP的平分线。

解法分析：如图2和图3，虽然D的位置发生了改变，但是问题解决的思路还是一致的，仍旧利用路径1和路径2的方法来解。值得注意的是，若用路径1解决，则始终围绕着将▲BDC绕点C顺时针旋转90°，再证明▲CDP是等腰直角三角形得到∠ADC的度数；若用路径2解决，则始终围绕着将▲AOC绕点C逆时针旋转90°，利用全等三角形对应高相等，及角平分线的逆定理(路径2不再赘述）。

解法分析：如图1，本题的第1问可以通过等腰三角形的三线合一定理得到B点坐标。本题的第2问可以用两种方法得到。路径1：直接求。通过AC=AO，等边对等角求出∠AOC的度数，再利用∠AOB=45°求出∠COB的度数。路径2：构造全等三角形。联结AD后，可得一组共顶点的全等三角形▲CBO≌▲ABD，得∠COB=∠ADB。本题的第3问的结论乍一看让人无从下手。可以通过测量先判断比值的大小，得到比值为1，因此如何寻找与NE相等的线段？如何转化AN-OE成为问题解决的关键。利用AM=OM，通过旋转▲MOE，得到▲AMP，从而得到OE=AP，即将AN-OE转化为PN的长，再通过证明PN=NE，顺利求出比值。

总结：在等腰直角三角形中，我们往往可以通过旋转，即发现共顶点的三角形，然后旋转90°，从而构造全等三角形，再去证明边和角的等量关系。

作业单：等腰直角三角形中利用旋转构造全等三角形作业单