经典再现29——三角形外的正方形（一）

题：如图1，分别以△ABC的边AB、AC为边长向外作正方形ABDE和ACFG，△ABC的高AH的反向延长线交EG于M.

求证：ME=MG.

分析：欲证ME=MG，首先寻找三角形全等，但现有三角形不存在全等，因此设法构造三角形全等.分别过点E、G作直线HM的垂线EP、GQ，P、Q为垂足（如图2）.则欲证ME=MG，只需要证明△MEP≌△MGQ，因此，设法证明EP=GQ问题便可解决.

证明：分别过点E、G作直线HM的垂线EP、GQ，P、Q为垂足，则∠P=∠MQG=90°，∠EMP=∠GMQ.

在△AEP与△BAH中，

因为AH是△ABC的高，

所以∠AHB=∠P，

因为四边形ABDE是正方形，

所以∠BAE=90°，AE=AB，

所以∠EAP+∠BAH=90°，

又∠BAH+∠ABH=90°，

所以∠EAP=∠ABH，

所以△AEP≌△BAH，

所以EP=AH；

同理，GQ=AH，

所以EP=GQ，

所以△MEP≌△MGQ，

所以ME=MG.