现代逻辑发展史
现代逻辑的主流是数理逻辑，此外也包括非经典的逻辑。现代归纳逻辑和自然语言逻辑也属于现代逻辑的范围。
数理逻辑 数理逻辑是一门边缘性的科学。它一方面应用数学方法研究逻辑问题，另一方面又应用逻辑的成果去研究数学的基础和方法。这两方面的研究，是紧密 联系、互相促进和逐步提高的。经过近百年来的发展，数理逻辑已具有非常丰富的内容。它包括了五个部分，即逻辑演算、集合论、证明论、模型论和递归论。第一 个部分是严格意义下的数理逻辑；后四个部分已成为数学的分支，属于广义的数理逻辑。
形成
17世纪的莱布尼茨最先明确地提出了关于数理逻辑的根本思想。他认为，象算术和代数表示数的规律那样，人们可以创造一个无歧义的符号体系来表示人 的思想。在这个符号系统中，复杂的概念分析成一些简单的概念，概念与概念之间的关系成为符号与符号之间的机械的关系，推理的进程成为符号的演算进程。莱布 尼茨本人未能实现他的这个设想，但这个思想却推动了数理逻辑的建立和发展。
1847年，G.布尔构造了一个逻辑代数系统。这个系统可以有几个不同的解释。在其中一个解释下，这个系统就成为命题逻辑，在另外一个解释下，就成为类逻辑。布尔这个系统，是近代应用代数方法研究逻辑的第一个成果。
1848年，A.德摩根发表了他应用数学方法研究关系逻辑的成果。这就突破了亚里士多德直言三段论的界限。
G.弗雷格为了逻辑证明的严格性和探讨能否从逻辑推出数学，就构造了一个逻辑系统。他在1879年出版的《概念文字》一书中，应用A,B,C,……作为 代表命题的符号，应用两种图形的符号分别表示否定和蕴涵这两个逻辑概念。他列举了其中包括全称量词和等词的 9条公理，并明确地提出肯定前件推理和替换作为推理规则。这是历史上第一个本身具有推理规则的一阶逻辑公理系统。弗雷格也区别了作为研究对象的对象语言和 用来研究对象语言的元语言。
G.F.P.康托尔为了研究函数论的需要，开始了对无穷集合的研究，从而在19世纪70年代建立了集合论。康托尔在他的集合论中，肯定了实无穷。他应用 一一对应的概念，把无穷集合定义为“和自己的真部分一一对应的集合”。他证明了一切代数数由于和正整数一一对应都是可数的，但实数则是不可数的。他应用一 一对应来比较两个集合的大小，并利用了序集和幂集理论证明了有不同大小的无穷多个的无穷集合，而自然数集是最小的无穷集合。康托尔已猜想到连续统是大于自 然数的基数的第一个超穷集合，但他没有能够对此作出证明（见连续统假设）。康托尔关于实无穷的理论涉及数学性质的根本问题，对数理逻辑的发展起了重要的推 动作用。
非欧几何出现以后，它和欧几里得几何的一致性问题成为数学家关心的问题。为此，D.希尔伯特在其《几何基础》一书中构造了欧几里得几何的形式公理系统。他应用了 “点”、 “线”、 “面”、 “在…之上”、“在…之间”、“合同于”、“平行”、“连接”等语词，并由它们构成公式。他还列举出 5组公理，由它们能够推出欧几里得几何的所有定理。“点”、“线”、“连接”这些语词，严格地说,都是没有意义的符号,只有经过解释之后，这些符号才具有 几何的意义，由它们构成的公理才是几何公理，这个公理系统才是几何公理系统。希尔伯特在实数理论中为这个形式公理系统构造了一个模型，从而证明该系统的相 对一致性。希尔伯特的形式公理系统是公理理论的重大发展，成为数理逻辑中的一个重要成分。
1900年，希尔伯特发表了他关于“数学问题”的讲话，其中提出有名的23个数学问题。第一个是关于集合论中的连续统假设与良序定理的问题，第二个是关 于实数理论的一致性问题。此后几年，关于数学基础的问题，争论非常热烈。争论的焦点是：如何在公理系统中防止悖论，有无实无穷和数学能否化归为逻辑。
罗素赞成弗雷格的看法，认为数学能够从逻辑推出。弗雷格和罗素这种看法通常叫做逻辑主义。在罗素与A.N.怀特海合写的《数学原理》一书中，在应用无穷 公理与选择公理的条件下，推出了大部分数学。但这两条公理却不是逻辑的规律。因此，罗素与怀特海由逻辑推出数学的工作是不成功的。不过，由于他们的工作， 数学与逻辑的差别和联系却变得明确了。此外，在《数学原理》中，他们构造了一个命题演算和谓词演算，发展了关系逻辑，提出了高阶逻辑和防止悖论的类型论。
从1907年起，L.E.J.布劳维尔开始批评康托尔、罗素和希尔伯特关于数学性质的理论。象康德一样，布劳维尔认为数学来源于直观的先验形式，因而数 学是不能从逻辑推出的。他也不承认实无穷，认为无穷只是一种无限增长的可能，只有自然数和它的某些基本规律如数学归纳法才是直观上最可靠的，因而一切数学 都必须由此构造出来。他还认为，一个数学对象，只有能给出得到它的计算方法，才是数学中的存在；一个公式，只有能给出它的构造性证明，才是一条定理。布劳 维尔不承认应用间接证明的方法推出的数学定理。他也不承认排中律，认为在一个系统中一个命题是真的，就是这个命题是在这个系统中能证明的；一个命题是假 的，就是这个命题是在这个系统中能否证的，即这个命题的矛盾命题是能证明的。显然，在一个系统中有些命题是既不能证明也不能否证的，因而有些命题就既不是 真的也不是假的。所以，排中律不是一条普遍有效的逻辑规律。布劳维尔的上述看法，通常叫做直觉主义。
1930年，A.海廷(1898～ )构造了一个直觉主义的逻辑演算。在这个演算中,∨和→都不是定理，但→却是定理。
希尔伯特不赞成罗素的逻辑主义，因为逻辑和数学必须同时建立,数学要假设逻辑,逻辑也要应用数学。希尔伯特也不赞成布劳维尔的直觉主义，因为直觉主义要 排斥一大部分极有价值的古典数学，而且悖论的产生也不是由于肯定了实无穷。希尔伯特认为，如果一个数学理论肯定了实无穷，而不引起逻辑矛盾并且还能简化理 论和取得实用方面的成果，那么，肯定实无穷作为一个理想的元素是完全正确的。为了证明那些肯定实无穷的古典数学的正确性，他力图证明古典数学的无矛盾性或 一致性。1922年，希尔伯特提出了人们所谓的“希尔伯特方案”。他认为，我们可以把古典数学的某一分支如初等数论，加以严格化并加上逻辑演算，以构成一 个形式公理系统。然后再构造一个相应于该形式公理系统的形式语言系统。
为了研究这个形式语言系统的性质，还必须建立一个不假定实无穷的逻辑系统和一个不假定实无穷的初等数论。这样的逻辑系统加上这样的初等数论，希尔伯特称 之为“元数学”。由于这个形式系统可以解释为例如初等数论，如果应用元数学能证明这个形式语言系统的无矛盾性或一致性，那么也就证明例如初等数论是无矛盾 的或一致的。通过应用元数学来研究一个形式语言系统，特别是研究其中的证明的逻辑，从而证明这个形式语言系统的无矛盾性，是希尔伯特的“证明论”的基本内 容。后来有些人把他的这种观点叫做形式主义。
K.哥德尔于1930年发表了一篇重要论文《逻辑谓词演算公理的完全性》。在这篇论文中，他证明了谓词演算的完全性，即谓词演算的所有常真公式都是谓词 演算的定理。他也证明了紧致性定理，即一可数无穷多公式的系统是可满足的，当且仅当它的任一有穷子系统是可满足的。1931年， 哥德尔又发表一篇极其重要的论文《PM及有关系统中的形式不可判定命题》。在这篇论文中，他证明了两条不完全性定理：①如果一个包括初等数论的形式系统是 一致的，则它是不完全的；②如果一个包括初等数论的形式系统是一致的，则它的一致性不能在它本身中得到证明。哥德尔的研究成果，不但对于数学理论系统是非 常重要的，而且对于哲学和认识论也是重要的。
1936年，A.丘奇(1903～ )在他的《关于判定问题》这篇论文中证明：如果一个形式算术系统是一致的，则没有一个判定程序来确定这个系统的任一公式是不是定理。这篇论文也证明了谓词演算一般是不可判定的。
哥德尔在20世纪30年代初的成果，标志着数理逻辑的发展已进入一个新阶段。这时数理逻辑的基本情况是：
①在逻辑演算方面，一阶逻辑最重要的元定理都已 证明。早在1885年C.S.皮尔士就已提出了命题逻辑的判定方法。1921年E.L.波斯特(1897～1954)证明了命题演算的一致性和完全 性；1928年希尔伯特与W.阿克曼(1896～1962)证明了一阶谓词演算的一致性；哥德尔证明了一阶谓词演算的完全性；丘奇证明了一阶谓词逻辑的不 可判定性。由此表明，一阶逻辑已进入它的成熟阶段。
② 在数学基础方面，逻辑主义、形式主义和直觉主义之间的争论已经基本平息。三派理论中的错误部分已被抛弃，而合理成分则保留为数理逻辑的内容。
③ 在数理逻辑的方法方面，形式系统的方法已经确立，递归方法和模型方法已开始应用。数理逻辑已形成了它自己的特殊研究方法。
发展
30年代中期以后，数理逻辑仍继续向前发展。逻辑演算、形式语言的方法日益严格化，构造了一些新的逻辑演算系统和对元定理的新证明，应用了自然推理和进行对高阶逻辑的研究。但更为重要的是数理逻辑在集合论、证明论、模型论和递归论方面的发展。
为了克服康托尔的集合论即朴素集合论所产生的悖论，E.策尔梅洛 (1871～1953)、A.A.弗兰克尔(1891～1965)、J.von诺依曼(1903～1957)和 P.贝奈斯(1888～1977)等人采取形式公理系统的方法来研究集合论,从而建立了形式公理集合论。形式公理集合论除了处理朴素集合论的那些内容外， 还研究集合的模型、各公理之间的关系、各系统之间的关系等理论。
希尔伯特在哥德尔不完全性定理发表以后，放弃了他应用“元数学”去证明古典数学一致性的看法。G.根岑(1909～1945)在希尔伯特的“元数学”中加上超穷归纳法，于1936年证明纯粹数论的一致性。后来，又经过K.舒提等人的工作，证明论成了数理逻辑的一个分支。
数理逻辑关于形式语言的研究，必然要涉及语形和语义的问题。R.卡尔纳普在30年代研究了形式语言的语形方面。1933年，A.塔尔斯基在他的《形式语言中的真理概念》这篇论文中，提出了关于形式语言的语义的系统理论，从而开创了模型论这一数理逻辑的分支。
R.戴德金德(1831～1916)和G.皮亚诺都早已应用了递归方法。哥德尔在不完全性定理的证明中则大量应用了递归方法并于1934年在一次讲演中 提出一般递归的概念。后来S.C.克利尼(1909～ )在他的《自然数的一般递归函数》（1936）中，给出了一般递归的严格定义。丘奇于1936年证明了能行可计算函数与一般递归函数等价；他与克林又证 明了一般递归函数与λ可定义性等价(见能行性与一般递归)。英国的A.M.图林(1912～1954)于1936～1937年提出了理想计算机的理论，并 证明图林可计算性与λ可定义性也是等价的（见图林机器理论）。这一系列的成果就构成了递归论。
非经典逻辑 布尔逻辑代数、罗素和怀特海的逻辑演算以及希尔伯特和阿克曼的逻辑演算，都是二值的外延逻辑。这些逻辑体系中的命题或命题形式，只能有而且 必须有真和假这二值之一其中的逻辑词项,如“不”、“或”、“和”、“如果……,那么……”“所有的”、“有的”等，都是真值函项的或外延性的语词。这样 的二值外延逻辑演算或逻辑体系，被称为经典的逻辑演算或逻辑体系。非经典的逻辑演算或逻辑系统，就是非二值的或非外延的逻辑演算或逻辑系统。模态逻辑、多 值逻辑、道义逻辑、认知逻辑、时态逻辑等都属于非经典逻辑的范围。
模态逻辑 刘易斯在他1914年发表的《严格蕴涵的演算》和《蕴涵的矩阵代数》两篇论文中，构造了一个模态命题演算后来他又提出了5个模态命题演 算S1,S2,S3，S4，S5。它们是在古典命题演算中再加入“◇” 这一基本符号以及相应的形成规则、公理和推理规则而形成的模态命题演算。在S1, S2, …,S5中，通过定义引入“□”与“”这两个符号“◇”“□”与“”分别解释为可能,必然与严格蕴涵。◇、□、和经典命题演算中的逻辑联结词不同。经典 命题演算的逻辑联结词，都是真值函项的。例如，的值是由的值唯一地决定的：真则假,假则真。但模态命题演算中的◇、□与，则不是真值函项的。例如,◇的值 就不是由的值唯一地决定的，因为假则◇ 既可以真也可以假。
1946年，M.巴坎与卡尔纳普各自独立地构造了一个模态谓词演算。模态谓词演算实质上是在模态命题演算中再加入量词、个体词与谓词的结果。
对模态逻辑的语义方面的研究，从40年代后期开始取得重要的成果。1947年，卡尔纳普对模态逻辑的语义提出了初步的系统理论。50年代后期，S.康格 尔、J.辛迪卡与S.A.克里普克等人进一步发展了模态逻辑的语义理论。克里普克应用“可能世界”来说明必然与可能。在可能世界1中必然,就是在1的所有 的可及的可能世界中都是真的在可能世界1中可能,就是在1的有的可及的可能世界中 是真的。应用“可能世界”的语义理论就可定义模态逻辑的常真公式，从而证明模态演算的完全性定理。
多值逻辑 稍后于刘易斯的模态逻辑，又出现了另一种非经典逻辑，即多值逻辑。多值逻辑体系中的命题，可以有三值，四值，…,n(2)值。J.卢 卡西维茨 (1878～1956)在他的《三值逻辑》 (1920)论文中，首先提出了多值逻辑的思想。他认为，关于未来事件的命题，如亚里士多德所说的“明日有海战”，既不是真的，也不是假的，而是真假未定 的。他在真假二值外，提出“未定”作为命题的第三个值。波斯特则于1921年发表了他的多值逻辑体系。H.赖兴巴赫认为，三值逻辑适用于量子力学。50年 代以后，J.B.罗塞、A.R.图尔克韦特、克利尼等发展了多值逻辑，把三值推广到 n值。
道义逻辑和认知逻辑 1951年， G.H.von莱特在他的《道义逻辑》这篇论文和《模态逻辑》这本书中，提出了两种非标准的模态逻辑，即道义逻辑和认知逻辑。在道义逻辑中，莱特应 用,,C作为表示行为的变元,除了古典命题逻辑的联结词之外,他还应用了“P”这一符号。“PA”表示“是许可的”（或“许可”），“～PA”表示“是禁 止的”(或“禁止 A”)。他用“～P～Ａ”来定义“OA”，“OA”表示“是应当的”（或“应当”）。他提出道义模态逻辑的几条原则。例如,许可原则与分配原则。由许可原 则可得出PA∨P～Ａ；由分配原则可得 P(Ａ∨Ｂ)(PA∨PB)。他还提出道义逻辑的范式，并用它来判定一个道义命题形式是或不是道义逻辑的重言式。
时态逻辑 20世纪50年代中期，A.N.普里尔提出了时态逻辑。他用“Pn”表示“过去n天有情况”(如以一天为时间单位),用“Fn”表示“n天 后有情况”,用“Fo”表示“现在有情况”。他在一个完全的经典谓词演算上再增加几条关于时态的公理，构造了一个时态逻辑演算。他还在时态逻辑演算中定义 了 L（必然）与（可能）。他的时态逻辑演算也可看作古希腊第欧多鲁·克罗纳解释下的模态逻辑演算。
现代归纳逻辑 归纳逻辑的研究在20世纪也有所发展。1921年J.M.凯因斯构造了一个归纳概率的公理系统。30年代赖兴巴赫又构造了一个新的归纳逻辑体系。从40年代起，H.詹弗瑞、莱特、卡尔纳普、辛迪卡等人又先后提出了一些不同的归纳理论与系统。
自然语言逻辑 20世纪50年代中期开始，美国语言学家A.N.乔姆斯基应用一些数理逻辑的方法来研究自然语言的语法，逻辑学家R.蒙塔古则应用形式系 统的方法来研究自然语言的语义和语法。现在有不少人从事自然语言逻辑的研究，出现了许多关于命令句逻辑、问句逻辑和语用逻辑的理论和体系。
趋势
现代逻辑的各个分支，正在以不同的速度向前发展。新的逻辑分支，特别是研究具体科学中逻辑问题的应用逻辑，将会不断出现。逻辑在各门具体科学的研究中和各种社会活动中，必然起着越来越重要的作用。