偶函数与函数图象的轴对称性

高中在研究函数的性质时专门提出了偶函数和奇函数的概念，事实上这就是初中就已经提到的图象关于y轴对称和关于原点对称。回顾一下初中讲到关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即(x,y)→(-x,y)；关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，即(x,y)→(-x,-y)。同时作为拓展，我在教学中还给学生增加了关于直线x=m对称的点的坐标特点，即(x,y)→(2m-x,y)，这是由轴对称性和中点坐标推得的。

所谓的偶函数事实上就是特殊的轴对称函数，特殊在函数图象对称轴为y轴。那么我们可以理解，将对称轴不是y轴的具有轴对称性的函数图象经过左右平移即可得到对称轴是y轴的函数图象，即偶函数图象；反之，将偶函数图象经过左右平移，就可得到对称轴不是y轴的一般的具有轴对称性质的函数图象。

关于平移的问题，从解析式的角度，初中就接触过“左加右减”这几个字，高中老师也会讲，但很多学生还是不理解。注意，我们经过平移后所得的函数是一个全新的函数，只是与原函数存在一定的关系，这点首先要理解。事实上，我们的原函数图象经过左右平移后，所有点的横坐标都发生了改变而纵坐标没变，如何从解析式角度保证纵坐标不变？例如函数f(x)=-(x-2)²图象向左平移两个单位长度对称轴就变成了y轴，所得的新函数的解析式就是f(x+2)=-x²，这里对于x要加2的原因在于向左平移后图象上点的横坐标都减小了2，要用原解析式的形式得到相等的函数值就得把减去的2加回来，故而平移的结果是f(x+2)而不是f(x-2)。这也就是“左加右减”的原因。

下面以一个例子说明偶函数与函数图象的轴对称性的问题，以供大家思考：