三角形重心的常用性质

中午午辅导时学生问了一道题目如下：

例、如图，G为△ABC的重心。若圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，则关于△ABC三边长的大小关系，正确的是（     ）

A、BC<AC     B、BC>AC     C、AB<AC    D、AB>AC

学生说，这题凭感觉是AB>AC，但是却说不清楚为什么是这样。

学生的感觉是对的，但道理何在呢？看来他们对三角形重心的性质了解还不够深入。事实上，如果将三角形的重心与三个顶点连接起来，将三角形分成三个三角形，这三个三角形的面积是相等的，再由高的大小关系就可得出底的大小关系。

在我们的教材中对于三角形重心的性质阐述的并不多，主要就是三角形的重心将三角形的中线分为2：1的两部分这样一条。下面对于上述性质做一简要证明，并对三角形重心部分性质略作梳理，有兴趣的同学可以查阅资料自行探索：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1

证明：略

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O，A分别作a边上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可证S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数

即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

4、三角形内到三边距离之积最大的点

5、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2