最短路径问题

最短路径问题来源于现实生活，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

问题1、要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你的理由是什么？

这个问题很好解决，直接连接AB与l的交点即是，理由：两点之间线段最短

问题2、

还是上面的问题，若此时A、B两镇位于输气管道的同侧如图所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

通过找对称点，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想。

这样的转化思想在数学中有很多的应用，而最短路径问题的解决原理与“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”有密切的关系，“轴对称”是重要的手段之一。下面提供几个思考题，同学们可以自行参考。

1、

如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。

2、如图，已知直线MN同侧有两点A、B，在直线MN上求作点P，使得∠APM=∠BPN

3、已知牧马营地在P处，牧马人从A地出发要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线。

4、点A、B在直线l同侧，在l上找一点M，使得|AM-BM|的值最小

5、点A、B在直线l同侧，在l上找一点M，使得|AM-BM|的值最大

6、点A、B在直线l异侧，在l上找一点M，使得|AM-BM|的值最小

7、点A、B在直线l异侧，在l上找一点M，使得|AM-BM|的值最小

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