不光要培养孩子的形象思维，也要培养抽象思维

今天的楠老师讲课有两个听众，一个是她的好朋友吴京航，一个是小熊同学，于是我又掌握了几个以前认为谁都应该知道的概念，其实，他们两个都没的理解。

吴京航说他是从四维在思考问题的，我问他，什么是四维，他说，等一下，于是跑到里屋抱出他家的地球仪来，指着地球仪上的零纬度线告诉我，这就是零纬，四纬就是向上数三纬，嗯嗯，好吧。

我问楠老师，四维是什么呢，楠老师说，吴京航讲的是“思维”，那我问，我们去电影院看的3D电影，这是什么意思呢，楠老师说是三维的意思。我接着问，什么是三维呢，她说，不知道。

也就是两个好朋友都在同一个问题上面没有一个比较清晰的认知。当然了，这里不去讲高等数学里面的关于向量空间里面的维度，单讲一下空间的维度。

我用钢笔画下一条线，问两个小朋友，“我画了一条画”是吗？吴京航说，对呀。楠楠说，不对，这是一条线段。我说你们看见了一条线段？京航说，嗯。楠楠说，不对，以前你告诉我，点是没有大小的，那么线就不应该有宽度，人的眼睛是无法看见没有宽度的东西的，所以，我们看见的其实是一个面。她还模仿的以前讲的动作告诉我们，其实呀，点和线都只能够在大脑里，因为这是抽像的概念。而画出来的，点、线只是表示它们是点和线，因为点和线是无法画出来的。

吴京航还是无法理解，是的，虽然听起来很简单，但是，抽像的概念和具像的描述是有很大区别的。有人讲，小孩子能够形像思维就可以了，抽像的概念等到初中之后再说吧。还是昨天的观点，到时候，可能就晚了，一但形成固有的思维方式，到时候，想改变都难。

这就是为什么到了初中，高中，孩子们去理解电场、磁场、重力场这些概念的时候，一定要有什么磁力线、电场线什么的，这些辅助线其实也没有问题，但是，不少人一生都真的以为存在磁力线和电场线，就有一些夸张了不是吗？这就是形像思维的问题。

记得弯弯在三四年级的时候，我一直和她讲关于一些抽像概念，当具像描述的时候，它只是一种表示方法，不是它本身。身边总有人无法理解，说我是在抬杠。

这些天，我在教吴京航画法几何的时候，就发现他总愿意说，差不多，看起来一样，量一下看看，而没有抽象描述的能力。当我试图去向他表达的时候，也感觉到了强大的，来自于他以前学习认知的阻力。

好在，这是动手强，多摸索，思想也就慢慢跟上了的学识。楠楠在这方面，明显要强一些，因为，在这之前，我们有一些积累。

从五年级开始，可能是最好的时间吧。再小一些，抽象思维能力还达不到掌握一些严格的表述，现在也许刚刚好吧。

在我的启发下，今天弄明白了，空间的，零维、一维、二维、三维以及比较抽象的时间维度。

最后，再次强调，数学，本身就是抽像的学科，千万不要学成了计算……