从圆到圆锥曲线,我这样说垂径定理
前些天做了皖南八校联考题,感觉是真的有点难度的,
因为学生确实做的不太理想,几天前就想写几个题了。却是因为时间的原因,断断续续的,到今天才完成了下面这题。
这题很多孩子都要求讲一讲,可是,这题真的有难度么?
说难,确实还是有点。但要说容易么,也确实是不过份的。
因为,熟悉圆锥曲线二级结论的人都会知道,这就是考查圆锥曲线垂径定理的了。
可惜的是,很多的娃并不清楚。
那么,什么是垂径定理呢?今天就准备详细的说一说它。
说到垂径定理,最先想到的肯定是圆了吧?
就算不知垂径定理是什么东西,但同学也一定是熟悉它的。
其实,在垂径定理之前,应该还有一个也是我们熟悉的,圆周角定理:
圆的直径所对的圆周角是直角。
对于学数学的人来说,
这个应该算是妇孺皆知的结论了吧。
虽然是初中的内容,
但是在高中也是经常会用到的。
那么垂径定理,到底是什么?
其实我们应该更加熟悉才对的。
垂直于弦的直径
平分弦
且平分弦所对的两条弧
是不是很熟悉?
是不是还经常用到它!
当然,
为严谨起见,
我还是要象征性的做个说明,
从两个方面:
证明一:无字证明
证明二:理论证明
这个圆的垂径定理,
在高中阶段,
尤其是在《直线与圆》这一章节,
也是常用的一个结论了。
但其实,
从高中的角度来看,
无论是圆的圆周角定理,
还是这个垂径定理,
其本质都是一样的。
因为它们,
可以相互导出、互为因果。
都知道椭圆与圆的关系。
椭圆只是一个圆被压扁了一点而已。
那么,
在圆被压扁的过程中,
直径所对的直角将如何变化,
垂径定理又将何去何从呢?
看了这个动图,
是不是感觉很惊讶?
随着圆的被压扁,
PA与PB之间的垂直关系会发生变化,
这一定是情理之中的。
但它们斜率之积却依然是定值,
仅仅只是由原来的-1,
变成了另一个定值而已。
这个结果,
就非常的出乎意料,
但确实还是让人欣喜。
也许,
这正说明了,
圆应该就是一个特殊的椭圆吧。
这也让我想起了,
很久以前写过的一篇推文:
对于这个结果,
还可以概括成下面一般性的结论:
这个就算是椭圆的圆周角定理了,
根据圆与椭圆之间的关系,
圆的直径在椭圆这里,
便挖成了中心弦。
中心弦所对角的两边的斜率
乘积为定值
当然,
这么好的结论,
应该还是要从理论上证明的,
最少,
是应该找出这个定值的吧。
显然,
无论是从数量关系,
还是从动图观察,
结论都是没有问题的。
有人也把这个结论,
称为椭圆的第三定义:
已知A,B是平面内两个定点,点P是平面内一动点,若PA与PB的斜率之积为定值(负值且不等于-1),则动点P的轨迹为椭圆。
有了圆周角的经验,
同样的,
类似于圆的垂径定理,
椭圆的垂径定理猜想可以描述成这样:
先不说结论,
先说下上面的证明,
这不是用的点差法么?
原来,
一直最喜欢的点差法,
最后的结局,
竟然就是垂径定理!
那是不是预示着,
以后凡是想到点差法时,
是可以直接考虑用它的结果,
就是现在的垂径定理了呢?
当然,
也是到了现在才确信,
原来初中的圆周角定理和垂径定理,
到了高中依然关系亲密,
而且更显强大。
切线也是圆的一个重要特征,
其实我们还可以从切线性质出发,
得到椭圆的另一个很好的结论。
大家都知晓的,
圆的切线,
总是与圆心与切点连线互相垂直的,
从数量关系上说,
就是它们的斜率之积为-1。
动图告诉我们,
椭圆也有着类似的性质,
只是斜率之积变成了
其实,
如果你愿意,
还可以更进一步,
这个最好的定值,
原来是可以写成这样的:
就问这样的结论,
于你来说,
惊不惊喜意不意外!
如果还能深入点,
考虑焦点在y轴上的话,
同样可以得到定值:
哦,
原来也只是交换了下a,b而已!
定值变成倒数了。
椭圆与圆,
最大的相似性在于形状特征。
而双曲线与椭圆,
最大的相似性肯定是方程的结构了。
因此,
还是用类比的手法,
根据双曲线与椭圆方程的相似性,
可以类比得出圆周角定理。
原来,
不仅结论的形式很相似,
而且和椭圆中的定值相比,
也仅只是少了一个负号而已。
确实,
这组结论真的是很奇妙的。
但记起来,
因为结论太相似了,
会不会有点混淆的感觉呢?
所以,
还是看看它离心率的表达吧。
竟然是和椭圆一样一样的!
这样记起来,
相信就会方便很多。
既然有相似的圆周角定理,
那一定就会有相似的垂径定理了,
真的是好,
连证明过程都是一样的。
那双曲线的切线,
会不会也有椭圆相似的结论呢?
原来是真的,
双曲线上任意一点处的切线斜率,
和切点与原点连线的斜率,
乘积依然是定值,
定值依然是:
如果表达成离心率的形式,
和椭圆的表述竟然也是一样的,
都是:
同样的,
如果焦点在y轴上,
定值也应该是它的倒数了:
这样,
椭圆和双曲线,
就达到了完美统一了。
真好!
相信现在大家对圆锥曲线的圆周角定理和垂径定理,应该会有一个更直观的理解和感受吧。
至于要不要掌握这个定理?我想答案应该是肯定的。
因为,教材中不是有个关于第三定义的例题么?
(P41,例3)
既然这样,那还等什么呢,老实的再理解再记忆吧。