利率及货币时间价值基础理论公式推导
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一、利率利率表示一定时期内利息与本金的比率，通常用百分比表示。利率=利息/本金*100%。利率分别受到产业的平均利润水平、货币的供给与需求状况、经济发展的状况等因素的影响；利率受到物价水平、利率管制、国际经济状况和货币政策因素的影响。1.基准利率及其特征含义基准利率是金融市场上具有普遍参照作用的利率，其他利率水平或金融资产价格均可根据这一基准利率水平来确定。在我国，以中国人民银行（央行）对国家专业银行和其他金融机构规定的存贷款利率为基准利率。特征1.市场化。基准利率必须是由市场供求关系决定，而且不仅反映市场供求状况，还要反应市场对未来的预期。2.基础性。基准利率在利率体系、金融产品价格体系中处于基础性地位，它与其他金融市场的利率或金融资产的价格具有较强的关联性。3.传递性。基准利率所反映的市场信号，或者中央银行通过基准利率所发出的调控信号，能有效的传递到其他金融市场和金融产品价格上。2.其它利率1.2.1分期利率报价利率(名义利率)报价利率是指银行等金融机构提供的利率。在提供报价利率时，还必须同时提供每年的复利次数（或计息期天数），也叫名义利率。计息期利率(计息次数)计息期利率是指借款人每期支付的利率，可以是年利率，也可以是半年、每季度、每月或每周等。计息期利率=报价利率/每年复利次数。有效年利率(实际利率)有效年利率是指按给定的期间利率（计息期利率）每年复利m次时，能够产生相同结果的年利率，也称为等价年利率。有效年利率=（1+报价利率/m）n -1有效年利率公式推导：如果1年复利m次，则有m个计息期每个计息期的利率=(名义利率/m)实际利息=本金×(1+名义利率/m)m-本金= 本金×【(1+名义利率/m)m-1】有效年利率（实际利率）=1年的实际利息/本金=(1+名义利率/m)m-11.2.2连续利率当复利次数m趋于无穷大时，利息支付的频率很频繁，所得到的利率为连续复利。连续复利有效年利率=e报价利率 -1F=P.e报价利率.t3.利率的影响因素利率r=纯粹利率+风险溢价=r*+IP+DRP+LRP+MRP其中：r*：纯粹利率，也称为真实无风险利率，是指在没有通货膨胀、无风险情况下资金市场的平均利率。没有通货膨胀时，短期政府债券的利率可以视作纯粹利率。IP：通货膨胀溢价，是指证券存续期间的平均通货率。纯粹利率与通货膨胀溢价之和，称为“名义无风险利率”，简称“无风险利率”。DRP：违约风险溢价，是指债券发行者到期时不能按约定足额支付本金或利息的风险补偿。对政府债券而言，通常认为没有违约风险，违约风险溢价为0；对公司债券来说，公司评级越高，违约风险越小，违约风险溢价越低。LRP：流动性风险溢价，是指债券应存在不能在短期内以合理价格变现的风险而给予债权人的补偿。国债的流动性好，流动性溢价较低；小公司发行的债券流动性较差，流动性溢价相对较高。MRP：期限风险溢价是指债券因面临持续期内市场利率上升导致价格下跌的风险给予债权人的补偿，因此也被称为市场利率风险溢价。主要影响长期债券。4.利率的期限结构利率期限结构是指某一时点不同期限债券的到期收益率与期限之间的关系。反映的是长期利率和短期利率的关系。该关系可以用曲线来表示，该曲线被称为债券收益率曲线，简称收益率曲线。三种主流的理论：无偏预期理论认为预期是影响利率期限结构的唯一因素，因此该理论也被称为纯粹预期理论，简称预期理论。有偏预期理论认为，除预期之外，市场流动性、偏好选择等其他因素也影响利率期限结构，如流动偏好理论，市场分割理论的。理论含义对收益率曲线的解释缺陷无偏预期理论（唯心主义）无偏预期理论认为，利率期限结构完全取决于市场对未来利率的预期，即长期债券即期利率是短期债券预期利率的函数，也就是说长期即期利率是短期预期利率的无偏估计。上斜收益率曲线，市场预期未来短期利率会上升。下斜收益率曲线，市场预期未来短期利率会下降。水平收益率曲线，市场预期未来短期利率保持稳定。峰型收益率曲线，市场预期较近一段时间短期利率会上升，而在较远的将来，市场预期短期利率会下降。1.假定人们对未来短期利率具有确定的预期。2.假定资金在长期资金市场和短期资金市场之间的流动完全自由。这两个假定都过于理想化，与金融市场的实际差距太远。市场分割理论市场分割理论认为，由于法律制度、文化心理、投资偏好等不同，投资者会比较固定的投资于某一期限的债券，即每类投资者固定偏好于收益率曲线的特定部分，从而形成了以期限为划分标志的细分市场，由此，即期利率水平完全由各个期限市场上的供求关系决定，单个市场上的利率变化不会对其他市场的供求关系产生影响。上斜收益率曲线，短期债券市场的均衡利率水平低于长期债券市场的均衡利率水平。下斜收益率曲线，短期债券市场的均衡利率水平高于长期债券市场的均衡利率水平。水平收益率曲线，各个期限市场的均衡利率水平持平。峰型收益率曲线，中期债券市场的均衡利率水平最高。该理论认为不同期限的债券市场互不相关，因此，该理论无法解释不同期限债券的利率所体现的同步波动现象，也无法解释长期债券市场利率随短期债券市场利率波动呈明显的有规律性变化的现象。流动性溢价理论流动性溢价理论综合了预期理论和市场分割理论的特点，认为不同期限的债券，虽然不像预期理论所描述的那样是完全替代品，但也不像市场分割理论说的那样完全不可相互替代。该理论认为短期债券的流动性比长期债券高，因为债券到期期限越长，利率变动的可能性越大，利率风险就越高，投资者为了减少风险，偏好于流动性好的短期债券。因此，长期债券给予投资者一定的流动性溢价，即长期即期利率是未来短期利率平均值加上一定的流动性风险溢价。上斜收益率曲线：市场预期未来短期利率可能上升，也可能不变，还可能下降，但是下降幅度小于流动性溢价。下斜收益率曲线：市场预期未来短期利率会下降，下降幅度大于流动性溢价。水平收益率曲线：市场预期未来短期利率会下降，且下降幅度等于流动性溢价。峰型收益率曲线：市场预期较近一段时期短期利率可能上升也可能不变，还可能下降，但是下降幅度小于流动性溢价。而在较远的将来，市场预期短期利率会下降，下降幅度大于流动性溢价。
二、货币时间价值货币的时间价值是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值1.现值和终值2.1.1单利的现值和终值单利计息：只对本金计算利息终值F=P(1+ni)现值P=F/(1+ni)2.2.2.复利的终值和现值复利计息：既对本金计算利息，也对前期的利息计算利息，“利滚利”。复利终值F=P(1+i)n=P(F/P，i，n)复利现值P=F/(1+i)n =F(1+i)-n=F(P/F，i，n)2.年金现值和终值2.2.1含义年金是指等额、定期系列的收支，可以说年金是复利的产物，是复利的一种特殊形式（等额收付） 。年金现值：年金现值是指将在一定时期内按相同时间间隔在每期期末收入或支付的相等金额折算到第一期初的现值之和。2.2.2类型：普通年金（Ordinary Annuity）是指每期期末收付款项的年金 。先付年金（Annuity Due）是指每期期初收付款项的年金。递延年金（Deferred Annuity）是指在预备计算时尚未发生收付，但未来一定会发生若干期等额收付的年金 ，一般是在金融理财和社保回馈方面会产生递延年金。递延年金在做投资或其他资本预算时具有相当可观的作用。永续年金（Perpetual Annuity）即无限期连续收付款的年金 ，最典型的就是诺贝尔奖金。2.2.3解释（1）普通年金1)普通年金终值含义：普通年金终值是每期期末等额收付款项A的复利终值之和。公式：年金终值系数（Future value of an annuity factor）=F/A=(F/A,i,n)
这里F/A=(F/A,i,n)代表年金终值系数，i代表利率，n代表年数。公式推导：该公式可由复利公式推导出来，推导过程如下：第1年存入1元到第n年的本利和 = (1 + i)n − 1第2年存入1元到第n年的本利和 = (1 + i)n − 2......第(n-1)年存入1元到第n年的本利和=(1+i)第n年存入l元 = (1 + i)0因此，各年本利和相加得：F= A[(1 + i)n − 1 + (1 + i)n − 2...... + (1 + i) + 1] (1)两边乘以(1+i)，则(1 + i)F= A[(1 + i)n + (1 + i)n − 1 + ...... + (1 + i)] (2)(2)-(1)得iF = A(1 + i)n − 1，即
2)普通年金现值年金现值就是在已知等额收付款金额未来本利(Future Value)、利率(interest)（默认为年利率）和计息期数n时，考虑货币时间价值，计算出的这些收付款到现在的等价票面金额Present Value。年金现值是年金终值的逆计算。
计算公式：年金现值因子:，是普通年金1元、利率为i、n期的年金现值，记作（P/A，i，n）。推导过程：假定每年年末存入年金A，利率i，期数n，则：第1年末 存入 A，现值P=A*（1+i）^-1第2年末 存入 A，现值P=A*（1+i）^-2第n年末 存入 A，现值P=A*（1+i）^-n年金现值总和：P= A*（1+i）^-1 + A*（1+i）^-2 +... + A*（1+i）^-n. ①将①式乘以（1+i），则:(1+i)P= A*（1+i）0+ A*（1+i）^-1 +... + A*（1+i）^-(n-1). ②②-①，则:(1 + i)P − P = A − A(1 + i) − nP(1 + i − 1) = A[1 − (1 + i) − n]∴年金现值与投资回收：A=Pi/[1-(1+i)-n]=P/(P/A,i,n)=P(A/P,i,n)总结：复利终值系数与复利现值系数互为倒数。偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。投资回收系数和普通年金现值系数互为倒数。（2）预付年金在普通年金的基础上乘（1+i）
1）预付年金终值预付年金是在每期期初收付的年金，又称即付年金、期初年金。预付年金形式如下：公式：在普通年金的基础上乘（1+i）F=A{[(1+i)n+1]/I-1}=A(F/A,i,n+1)-A=A[(F/A,i,n+1)-1]=A(F/A,i,n)(1+i)2)预付年金现值P=A{[1-(1+i)-(n+1)]/I+1}=A[(P/A,i,n-1)+1]=A(P/A,i,n)(1+i)(3)递延年金递延年金是指第一次收支发生在第二期或第二期以后的年金。
1）递延年金终值（同普通年金终值）2）递延年金现值方法一：把递延年金视为n期普通年金，求出递延年金期末的现值，然后再将现值调整到第一期期初。P=A(P/A,i,n)(1+i)-m方法二：是假设递延期间也进行收付，先求出（m+n）期的年金现值，然后，扣除实际并未收付的递延期间（m）的年金现值，即可得出最终结果。用这种方式时需注意递延期各期金额是否相等，不等时需分别计算。P=A(P/A,i,m+n)-A(P/A,i,m)（4）永续年金无限期定额收付的年金，成为永续年金。永续年金没有终止的时间，也没有终值。永续年金的现值可以通过普通年金现值的公式推导出：P=A[(1+i)-n]/I当n➡️∞时，(1+i)-n的极限为零，故上式可以写成：P=A/I3.综合应用
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