杂谈不等式

不等式，在很多人的眼里好像不如等式重要，的确，等式能告诉我们精确的信息，而不等式能告诉我们什么呢？但是，这种轻视心理恐怕大错特错。本文就讲几个重要的不等式。

我要谈的第一个重要的不等式是所谓“三角形不等式”，即 ，用文字表达即为“两点之间直线距离最短”。什么是“距离”，以及“两点之间”除了“直线距离”还有没有别的“距离”，这些问题已经超出了我的能力。我要说的是，虽然即使是小猫小狗也天然地懂这个不等式，但我们不要小看它，因为数学中的“度量空间”就是以之为定义的，当然还有另外两个要求：一是任意两点间距离为非负数，当且仅当两点重合时为零；二是 到 的距离等于 到 的距离。

在应用上，这个不等式也非常重要。在《思考的乐趣——Matrix67 数学笔记》这本书里，作者顾森曾经提出过一个不等式：

如果用代数方法证明这个问题将极为繁琐，但如果转化为几何问题，那无非就是这个不等式。

再比如著名的“将军饮马”问题：在直线上找一点，使同侧的 、 两点到该点距离之和为最小。下面这个问题：以已知点 、 为焦点的椭圆与已知直线 相切，求这个切点。这里的难点是椭圆并没有画出，如果按照常规思考，似乎并没有头绪，但是如果考虑到光学中的“费马原理”，再结合这里提到的“将军饮马”，问题迎刃而解。

在代数上，我所知道的最重要的不等式可能是所谓的平均值不等式，即：。这个不等式的一个常见用途是求最大、最小值，比如已知正数 和 的乘积为某个定值，则我们可以求出 的最小值，其中 、 均为正值。不过我当年第一次看到这样的例题时还是吃了一惊。——原来还有这种操作？当然，这个均值不等式还可以推广到任意多个正数的情况，这里就不再证明了。

下面给出最简单形式的柯西不等式：。这显然就是前面平均值不等式的一个变形。这也说明，复杂、“高级”的数学知识，是可以从比较初等的数学中发展出来的。

和均值不等式比较接近的还有一个：如果 ，则 (其中 都是正数)。这个不等式直接证明起来也有点麻烦，但是有很多方法可以用来理解之：比如设 、 都是路程，、 是对应的时间，则表示平均速度在最大速度和最小速度之间；如果设 、 都是溶质质量，、 都是溶液质量，则表示混合后的溶液浓度介于原来两部分溶液之间，类似还可以看作坡度等等。

“极限”的 定义也是用不等式建立的。这使“极限”一词摆脱了那种依赖于直观的模糊图像，变得可以真正被用来研究数学问题了。假如没有这个定义，我们遇到“极限”的时候只能说“越来越接近”，这对于数学证明没有丝毫作用。类似的，判断极限是否存在的柯西准则，以及夹挤定理，都需要不等式。

这个定义除了直接证明某个函数的极限外，还用来证明极限的运算法则（函数和差积商的极限等于函数极限的和差积商）以及可以证明若干函数不存在指定的极限。但有些微积分教材只给出了函数和的极限等于极限和的证明，如何证明其它几个运算法则？我强烈建议教师一定要把这个问题讲一遍，否则会造成学生的重大遗憾——我本人就是一个例子。

另外的一个证明极限的方法是用增减性，结合上（下）确界定理进行证明。而这也都需要不等式，比如要证明级数 收敛。首先可以判断这个级数随着 n 的增大单调递增，然后将其放大到 （除了首项），再证明这个新的级数小于 1 即可。不等式在微积分中的运用当然绝不仅以上几点，这只是略谈数例而已。

最后一段聊聊物理吧。虽然我们通常接触的物理定律都是等式形式的，但热力学第二定律却是一个不等式。虽然因为涉及到概率，它给人的感觉是地位似乎不如其它定律稳固，但却是我们得以活下去的基础——从来没有人担心某一天所有的空气分子都挤到房屋一角而导致自己窒息。一位物理学家曾经说过：如果你提出的理论和其它物理定律相矛盾，那么你很可能获得荣誉，但如果是和热力学第二定律矛盾，则你获得的将只有羞辱。（大意）这句话说明了这个定律的坚实程度。物理学里另外一个和不等式有密切关系的例子是所谓“测不准关系”。巧得很，它所属的“量子力学”也和概率有着密切联系。顺便说一句，我国著名科学史专家，玻尔集的翻译者戈革先生，曾经在其著作《史情室文帚》里对玻尔的“对应原理”作过一番梳理，说这个原理在运用时也涉及到“几率”（上册，P28、P448 两处）。这是一句题外话了。

以上关于“不等式”的话题很不成系统，故谓之“杂谈”。