日本现代数学发展历程及其启示
作者 | 数学扫地僧
来源 | 数学maths
编者按
2018年，日本数学家柏原正树在第 28 届国际数学家大会上荣获数学最高终身成就奖“陈省身奖”。而此届大会主席也恰巧是日本著名数学家森重文，他曾于 1990 年荣获菲尔兹奖。于是，日本数学再一次成为了焦点。时至今日，日本数学家共获得三次菲尔兹奖，三次沃尔夫数学奖。他们分别是小平邦彦（1915~1997，1954 菲尔兹奖，1984 沃尔夫数学奖），广中平祐 (1931~，1970 菲尔兹奖)，森重文 (1951~，1990 菲尔兹奖)；伊藤清 (1915~2008，1987 沃尔夫数学奖)，佐藤干夫 (1928~，2002 沃尔夫数学奖)。其中小平邦彦独中两元，成为日本首位双奖得主。
由此可见日本数学近一百年来得到了长足发展，也收获了巨大的成果。更难能可贵的是，这些获奖数学家本科之前的教育几乎都是在日本本土完成的，而且大部分没有移民或更改国籍。由此我们不得不感叹，为什么我们的数学会与一衣带水的邻国产生如此大的差距？或许可以从日本数学的发展历史中可以寻找到一些启示。
如今比较公认的看法是日本现代数学得以发展是从高木贞治 (1975~1960）开始的。高木贞治早年在东京大学数学科学习，随后被公派到德国学习代数和数论。他先后在柏林和哥廷根等地学习，深受希尔伯特等数学大师的熏陶。1920 年，高木贞治解决了“克罗内克青春之梦”问题 (即高斯数域上任意阿贝尔扩张均可由双纽线函数的分点值来生成)，和阿廷一起创建了古典类域论。这是日本数学家首次获得世界级数学成果，为此高木贞治还应邀成为 1932 年菲尔兹奖评选委员会成员之一。可以说，日本现代数学从高木贞治开始走上世界舞台，逐渐确立了自己的地位。
在高木贞治的时代，日本的数学自明治维新之后已经得到了长足发展，特别是数学教育水平。例如当时的日本东北大学，这里有分析学方面的藤原松三郎 (1881~1946)，主要研究微分方程和函数论，还有研究微分几何的窪田忠彦 (1885~1952)。他们不仅研究出色，更重要的是为日本数学培养出了很多年轻人，特别地还写出了很多优秀的数学教材。值得注意的是，我国老一辈数学大家陈建功和苏步青就是他们二人的得意门生。除了东北大学之外，东京大学和京都大学在数学教育方面也同样出色。到了 20 世纪 30 年代，这些大学的数学教育水平已经不比欧洲顶级大学差多少了。
自高木贞治在代数方面做出杰出贡献后，当时许多日本年轻数学家都想追随他的脚步，纷纷前往德国留学，跟随大师们学习代数。这使得之后代数研究成为了日本数学的特点。其中比较早的有正田建次郎 (1902~1977)，他是高木贞治在东京大学的学生。1927 年毕业后前往德国哥廷根大学跟随抽象代数奠基人诺特学习代数。一年之后，末纲恕一 (1898~1970) 也来得哥廷根跟随诺特学习。在德国的学习使得他们获益匪浅，回到日本之后，一边继续研究，一边培养年轻人，一时掀起了学习抽象代数的热潮。据不完全统计，在这方面后来有贡献的日本数学家有：秋月康夫、浅野启三、中山正、岩泽健吉等人。其中尤以中山正和岩泽健吉的贡献最大。
中山正是日本代数学研究的先驱，为使日本数学达到国际水平作出了重要贡献。他的工作涉及代数学中几乎所有课题，主要成就包括构造以有限维代数域上的伽罗瓦群为系数的上同调群，发展了一般同调代数和类域论等。交换代数中的“中山引理”是该学科的基本概念。而岩泽健吉则在环论和希尔伯特第五问题上均有突出贡献，特别是他在 50 年代建立的岩泽理论最为出名，后来成为怀尔斯证明费马大定理的重要工具。这一时期日本的代数学水平已经跻身世界一流了。
与此同时，日本在数学传播上也有相当大的贡献，例如我国的很多数学名词都是从日本引进的。这一功绩的主要代表为弥永昌吉，他在东京大学获博士学位后留校任教，岩泽健吉和小平邦彦等都是他的学生。早年他沿着高木贞治的道路得到了很多重要类域论的结果，同样也是这一领域的代表人物。但最使他出名的是他主持编写的《岩波数学辞典》，这是一本现代数学百科全书，许多年来不断出版，深受读者喜爱，成为了每个大学图书馆必备的工具书之一。日本数学界比较流行的说法是，如果高木贞治是日本现代数学的“生父”，那么弥永昌吉就是“养父”。
继高木贞治之后，日本数学再次诞生了一位日本数学的突出代表人物，也就是小平邦彦 (1915~1997)。日本数学自此再进一步，达到了更高的水平。小平邦彦深入东京大学数学科之时，数学科一年只招 15 名新生，选拔非常严格。三年级的时候，他对拓扑学有了兴趣，毕业的时候突然又爱上了冯・诺依曼的《量子力学基础》和外尔的《群论和量子力学》，索性跑去物理科再读了三年。这也奠定了他在数学物理方面坚实的基础。之后的两年内，小平邦彦完成了两篇黎曼曲面的论文，开始了他数学家的生涯。
然而随着日本在太平洋战场的接连失败，国内民不聊生，此时的数学研究和对外交流几乎全面中断，比较有意思的是这时候日本的一艘潜水艇不知从哪里搞了一份海森堡关于量子力学的论文回来，还被当成了机密文件。由于美军的接连轰炸，小平邦彦也只能躲到了乡下，开始了他与世隔绝的艰难研究，与欧洲此时的塞尔伯格一样，成为了战火之中的孤岛数学家。在乡下，他首先研究了外尔之前的论文，此后在艰苦卓绝的研究下，得到了一系列关于多变量正则函数和调和积分的成果。但由于战争的原因，直到 1949 年他去美国访问之前，都一直默默无闻，不为数学界所知。所幸的是，小平邦彦遇到了他的“贵人”—角谷静夫。
角谷静夫 (1911~2004) 早年从东北大学数学科毕业后就到了美国留学并定居，他主要研究无限维空间上的测度，以“角谷静夫距离”闻名于世。战争结束后，角谷静夫以日侨身份被遣返回日本，之后便结识了小平邦彦。角谷静夫在美国的时候，曾在普林斯顿高等研究院当过一段时间助教，对当时正在普林斯顿的冯・诺依曼和外尔的工作比较熟悉，所以他一下子就看出了小平邦彦相关论文的巨大价值。一番不懈努力之后，他托人将论文送到了外尔手中。虽然小平邦彦当时默默无闻，但外尔看了他的论文之后大加赞赏，立即邀请他前往普林斯顿访问研究。事实也证明，外尔不仅是数学大师，也是发现和珍惜人才的伯乐。
1949 年 9 月，小平邦彦来到了当时的数学中心普林斯顿。在这里，他多年的苦心孤诣终于转化成了累累硕果。在这几年间，他推广了重要的黎曼-罗赫定理，又对代数曲面的奇点做了巧妙处理，得到了著名的小平邦彦奇点消没定理。他的一系列工作使得他成为了现代复代数几何的奠基人之一，这一点我们在上一篇关于普林斯顿数学发展的文章中也提到过。最终凭借这些成果，小平邦彦荣获 1954 年菲尔兹奖。之后他又在复流形，复曲面上做出了许多开创性工作，因此又荣获 1984 年沃尔夫数学奖，成为了少有的双奖得主。必须要指出的是，1967 年小平邦彦选择回到了日本东京大学，为日本数学发展做出了非常多的贡献。
和小平邦彦同时代的伊藤清 (1915~2008) 也是日本现代数学发展的另一个突出代表。伊藤清与小平邦彦一样，毕业于东京大学。1944 年他率先对布朗运动引进随机积分，从而建立随机分析这个新分支，1951 年他引进计算随机积分的伊藤公式，后推广成一般的变元替换公式，成为了这一领域的基础定理。此外，伊藤清还发展了一般马尔科夫过程的随机微分方程理论，他还是最早研究流形上扩散过程的学者之一。伊藤清的成果于 20 世纪 80 年代以后在金融领域得到广泛应用，他因此被称为“华尔街最有名的日本人”。1952 年起，伊藤清在京都大学任教授直到 1979 年退休。而除了东京大学外，京都大学也是日本数学的中心之一，主攻代数几何，而这要归功于上面提到过的秋月康夫等人。
20 世纪 50 年代，在战后及其困难的情况下，秋月康夫还是克服一切艰难险阻组织年轻人研究代数几何。这个集体中就诞生了后来著名的永田雅宜 (1927~2008）和广中平祐 (1931~）。前者以给出希尔伯特第 14 问的反例而著称，而广中平祐则以代数几何中奇点消解的杰出工作荣获 1970 年菲尔兹奖。
战后日本数学的转折点在 1955 年，这一年，东京举办了一次日本期盼了太久的国际数学会议，许多著名数学家来访和做报告，代数几何的绝对权威韦伊和塞尔也在其中。会上，许多日本年轻人都做了报告，展示了日本数学年轻一代的想法和实力，其中就有后来著名的志村五郎和谷山丰。韦伊和塞尔顺便访问了京都大学，一年之后，另一位代数几何大师扎里斯基访问日本，一口气做了 14 场报告。这些给了广中平祐极大的震撼和鼓舞，让他下定决心研究代数几何中的困难问题。后来他来到哈佛大学，在扎里斯基指导下拿到博士学位并进行研究工作，之后便有了他在这方面杰出的工作。但比较有意思的是，传说他的研究生导师称广中平祐“智商不足”。
韦伊
塞尔
广中平祐之后，京都大学的代数几何研究并没有停止，而是在 20 年后再次诞生了一位菲尔兹获得者-森重文 (1951~）。森重文早年在永田雅宜手下学习代数几何，获得了数学博士学位，1977 年到 1980 年期间在哈佛大学访问研究，后来又回到日本。森重文的贡献很多，用一句话来概括就是完成了 3 维代数簇的粗分类。在 70 年代，3 维簇的分类被认为基本上是不可想象的。而森重文则勇于面对这项浩大工程，为此他制定了一个纲领，这个纲领被称为森重文纲领或极小模型纲领。10 多年间他引进一系列的专门技巧，克服了一个又一个的困难，最终在 1988 年完成了这个纲领。
除了以上这些之外，还有吉田耕作的泛函分析与半群工作，佐藤干夫的超函数论，加藤敏夫的微分算子摄动理论等分析学方面上的成就也享有广泛的国际声誉，都是世界级的成果。
正是一代又一代的努力，日本数学在 20 世纪后半期达到高峰，一度挤掉战后分裂的德国，成为数学四大强国之一。明治维新之前几十年，日本所学的数学几乎全部来自中国，水平整体上落后于中国。但短短的几十年间，情况完全逆转，到甲午中日战争时，日本数学水平已经全面超越中国。虽然近一百年来，我国的数学得到了长足发展，但仍与日本有不小的差距。而关于我国现代数学的发展，以后将在另一篇文章中介绍。
从日本数学发展历史来看，日本数学主要有以下几个特点：1、善于向外学习；2、重视数学教育和人才培养；3、凝聚力强，主流数学家多为本国服务；4、战前受德国数学影响较大，战后全面受美国数学影响；5、主要研究方向为代数。如果要给日本数学打上标签，我觉得“低调”和“脚踏实地”比较合适，小平邦彦抄书的故事可能很多人都知道，并不是说他笨，而是体现了一种认真执着的精神。这些优点也是我们应该学习的，毕竟我们的基础科学研究还全面落后于日本。
最后，借用一段话来做为本文的结束：
“我们要搞原始创新，就必须更加重视基础研究，没有扎实的基础研究，就不可能有原始创新。国际数学界的最高奖项菲尔兹奖，中国至今没有一人获得。现在 IT 业发展迅猛，源代码靠什么？靠数学！我们造大飞机，但发动机还要买国外的，为什么？数学基础不行。……，所以，大学要从百年大计着眼，确实要有一批人坐得住冷板凳的人。”
希望这样坐得